24 – Saitenschwingungen 3 – Randbedingungen

 

Im letzten Artikel wurde die allgemeine Lösung der Differentialgleichung von Saitenschwingungen für freie Schwingungen hergeleitet. Nach einer kurzen Wiederholung sollen in diesem Artikel die Randbedingungen in die Lösung eingearbeitet werden (Saite ist an beiden Enden fest eingespannt).

Wiederholung der Herleitung der Saitenschwingungs-DGL

Die Differentialgleichung der Saitenschwingung ist:

S\frac{{\partial ^2 \omega }} {{\partial x^2 }}+q_z  = \rho A\frac{{\partial ^2 \omega }} {{\partial t^2 }}

Für freie Schwingungen gilt:

q_z = 0

Wir setzen für die Ausbreitungsgeschwindigkeit:

c_s  = \sqrt {\frac{S} {{\rho A}}}

Eingesetzt ergibt sich:

c_s^2 \frac{{\partial ^2 \omega }} {{\partial x^2 }} = \frac{{\partial ^2 \omega }} {{\partial t^2 }}

Produktansatz von Bernoulli:

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right)

Die weiteren Schritte sind: ableiten, einsetzen, durch Ansatz teilen. (Zeitfunktion zwei Mal abgeleitet, geteilt durch die Zeitfunktion selber. Konstante c ist gleich-ω2.

Die Schlussweise von Bernoulli (Zeitfunktion = Ortsfunktion → beide konstant) liefert zwei Differentialgleichungen:

zeitliche:
\ddot T_j +\omega _j^2 T_j  = 0

örtliche:
\hat w_j^{\prime\prime} +k_j^2 \hat w = 0

mit der Wellenzahl

k_j  = \frac{{\omega _j }} {{c_s }}

Teillösung für ein bestimmtes j:

w_j \left( {x,t} \right) = \hat w_j \left( x \right)T_j \left( t \right)

Gesamtlösung als Summe der Teillösungen über j:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j \left( x \right)T_j \left( t \right)}

w = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left( {C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x} \right)} \left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)

Bestimmung der Unbekannten

Nun werden die fünf Unbekannten Cj, Dj, Aj, Bj und kj bestimmt. Wir benutzen dazu zunächst zwei Randbedingungen. Randbedingungen beziehen sich immer auf die Ortsfunktion, im Gegensatz zu Anfangsbedingungen, die sich auf die Zeitfunktion beziehen. Wir nutzen hier, dass die Saite an beiden Seiten fest eingespannt ist.

w\left( {0,t} \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad \hat w_j \left( 0 \right) = 0

w\left( {l,t} \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad \hat w_j \left( l \right) = 0

Aus der beidseitig festen Lagerung folgt also, dass die Amplitude der Auslenkung am Anfang und am Ende der Saite verschwindet.

Ortsfunktion für eine Schwingung j:

w_j \left( x \right) = C_j \cos \left( {k_j x} \right)+D_j \sin \left( {k_j x} \right)

Randbedingungen einsetzen:

C_j \cos \left( 0 \right)+D_j \sin \left( 0 \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad C_j  = 0

Die Schwingungsfunktion vereinfacht sich damit zu

w = \sum\limits_{j = 1}^\infty  { D_j \sin \left( k_j x \right) \cdot \left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}

Eigenwertgleichung und Eigenwerte

Die andere Randbedingung benutzen wir für das kj:

\hat w_j \left( l \right) = 0 = D_j \sin \left( {k_j l} \right)

Aus dieser Gleichung folgen die Eigenwerte. Triviale Lösung:

D_j  = 0

Nicht triviale Lösung:

D_j  \ne 0

Wir suchen also eine Sinuskurve, die genau bei x = l eine Nullstelle hat. Da es keinen zusätzlichen Summanden gibt, hat die Kurve keine Phasenverschiebung. Es gibt trotzdem noch mehrere Möglichkeiten für die Sinuskurve, da sie auf dem Intervall [0,l] durch Stauchung und Streckung beliebig oft oszillieren kann. Gibt es zwischen 0 und l keine Nullstelle (die Sinusfunktion ist dann nur ein langgestreckter Bogen), spricht man von der ersten Schwingungsform. Gibt es in der Mitte einen Knoten ist das die erste Oberschwingung und so weiter.

Daraus resultiert die Eigenwertgleichung:

D_j  \ne 0\quad  \Rightarrow \quad \sin \left( {k_j l} \right) = 0

Berechnung der Eigenwerte und Eigenkreisfrequenzen

Es gibt nur eine Menge an diskreten Werten, die die Eigenwertgleichung lösen. Der Sinus hat genau dann Nullstellen, wenn gilt

k_j  = j\frac{\pi } {l}

Die kj sind die Eigenwellenzahlen. Aus ihnen folgen die Eigenkreisfrequenzen.

Mit der Wellenzahl

k_j  = \frac{{\omega _j }} {{c_s }}

und der Ausbreitungsgeschwindigkeit

c_s  = \sqrt {\frac{s} {{\rho A}}}

ergibt sich

\omega _j  = j\frac{\pi } {l}\sqrt {\frac{S} {\mu }}

Daraus ergeben sich wiederum die Eigenfrequenzen

f_j  = \frac{{\omega _j }} {{2\pi }} = \frac{j} {{2l}}\sqrt {\frac{S} {\mu }}

Beeinflussbare Größen:

l: Länge der Saite
S: Vorspannkraft (soll die Frequenz verdoppelt werden, muss die Vorspannkraft auf das vierfache erhöht werden)
ρA=μ: Massenbelegung

Zugehörige Moden, normiert:

\hat w_j \left( x \right) = \sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)

Die Schwingungsfunktion wird damit zu

w = \sum\limits_{j = 1}^\infty  { D_j \sin \left( \frac{j \pi}{l} x \right) \cdot \left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}

Das Dj wird an das Aj und das Bj multipliziert:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\sin \left( {\frac{{j\pi }} {l}x} \right)\cdot\left( {\underbrace {A_j^* }_{ = A_j D_j }\cos \omega _j t+\underbrace {B_j^* }_{ = B_j D_j }\sin \omega _j t} \right)}