25 – n-dimensionale Maximierung mit Nebenbedingung (Lagrange)

 

Wir veralltemeinern das Ergebnis aus Aufgabe 21 und betrachten dazu die Funktionen

h:\left[ {0,\infty } \right[^n  \to \mathbb{R}

mit

h\left( {x_1 ,...,x_n } \right): = x_1  \cdot x_2  \cdot ... \cdot x_n

und

F:\left[ {0,\infty } \right[^n \to \mathbb{R}

mit

F\left( {x_1 ,...,x_n } \right): = x_1 +x_2 +...+x_n -r

für ein r > 0.

Bestimmen Sie mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren das globale Maximum von ha unter der Nebenbedingung F(x1, …, xn) = 0. Sie dürfen ohne Beweis verwenden, dass die Menge

\left\{ {\left( {x_1 ,...,x_n } \right) \in \left[ {0,\infty } \right[^n |F\left( {x_1 ,...,x_n } \right) = 0} \right\}

abgeschlossen und beschränkt ist.

Lösung

Die Funktion ist n-dimensional und lässt sich daher nicht zeichnen. Wir müssen das Problem daher rein analytisch angehen.

Wir haben die beiden Funktionen gegeben:

h\left( {x_1 ,...,x_n } \right): = x_1  \cdot x_2  \cdot ... \cdot x_n

F\left( {x_1 ,...,x_n } \right): = x_1 +x_2 +...+x_n -r

Das Maximum ist dort, wo die Gradienten der beiden Funktionen parallel zueinander sind. Dies ist schnell an einem Beispiel im R2 erklärt:

Die Funktion, die das Gebiet definiert, ist hier blau eingezeichnet. Die grüne Funktion soll über dieser Funktion irgendwo maximal sein. Da die grüne Funktion nach rechts oben größer wird, ist das Maximum genau der Punkt, in dem die grüne Höhenlinie die blaue Nulllinie tangential berührt.
An dieser Stelle zeigen die Gradienten in die gleiche Richtung. Die Steigung der beiden Funktionen kann zwar unterschiedlich groß sein, dies bewirkt aber nur eine Verlängerung oder Verkürzung des Gradienten, der immer in der Ebene liegt und in die Richtung der größten Steigung zeigt.
Es gibt daher einen Faktor λ, den Lagrange-Multiplikator, mit dem man den grünen in den blauen Gradienten umformen kann:

\nabla h = \lambda \nabla F

Wir berechnen also die beiden Gradienten.

Der Gradient von h:

h\left( {x_1 ,...,x_n } \right): = x_1  \cdot x_2  \cdot ... \cdot x_n

h_{x_1 }  = x_2  \cdot ... \cdot x_n  = \frac{{h\left( {x_1 ,...,x_n } \right)}} {{x_1 }}

h_{x_2 }  = x_1  \cdot x_3  \cdot ... \cdot x_n  = \frac{{h\left( {x_1 ,...,x_n } \right)}} {{x_2 }}

… und so weiter. Also:

\nabla h = \left( {\frac{h} {{x_1 }},\frac{h} {{x_2 }},...,\frac{h} {{x_n }}} \right)

Der Gradient von F:

F\left( {x_1 ,...,x_n } \right): = x_1 +x_2 +...+x_n -r

\nabla F = \left( {1,...,1} \right)

In die Gleichung eingesetzt:

\left( {\frac{h} {{x_1 }},\frac{h} {{x_2 }},...,\frac{h} {{x_n }}} \right) = \lambda \left( {1,...,1} \right)

Das führt zu den n Einzelgleichungen:

\frac{h} {{x_1 }} = \lambda \quad  \Rightarrow \quad x_1  = \frac{h} {\lambda }

\frac{h} {{x_2 }} = \lambda \quad  \Rightarrow \quad x_2  = \frac{h} {\lambda }

und so weiter. Daraus kann man schließen:

x_1  = x_2  = ... = x_n

Wir können die Funktion F daher unter der Nebenbedingung wie folgt schreiben:

F\left( {x_1 ,...,x_n } \right): = x_1 +x_2 +...+x_n -r = x_1 +x_1 +...+x_1 -r = nx_1 -r

Auf der Nulllinie ist die Funktion gleich 0:

F\left( {x_1 ,...,x_n } \right) = nx_1 -r = 0\quad  \Rightarrow \quad nx_1  = r\quad  \Rightarrow \quad x_1  = \frac{r} {n}

Da alle x-Werte gleich sein müssen, ist der einzige für ein Maximum in Frage kommende Kandidat:

\left( {\frac{r} {n},\frac{r} {n},...,\frac{r} {n}} \right)

In die Funktion h eingesetzt:

h = x_1  \cdot x_2  \cdot ... \cdot x_n  = \left( {\frac{r} {n}} \right)^n