26 – Extremstellen mit Nebenbedingung

 

Die Kreisscheibe

\overline {B_1 \left( {0,0} \right)} : = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x^2 +y^2  \leq 1} \right\}

ist abgeschlossen und beschränkt. Also nimmt die Funktion

F:\overline {B_1 \left( {0,0} \right)}  \to \mathbb{R}

mit

F \left( {x,y} \right) := x^2 +xy+y^2

ihr globales Maximum in einem oder mehreren Punkten in

\overline {B_1 \left( {0,0} \right)}

an. Bestimmen Sie den oder die Punkte, in dem oder in denen dieses Maximum angenommen wird. Hinweis: Bestimmen Sie erst die Maxima auf der offenen Kreisscheibe

{B_1 \left( {0,0} \right)}

und dann mit Hilfe der Lagrange-Multiplikatoren die auf dem Rand

\overline {B_1 \left( {0,0} \right)} \backslash B_1 \left( {0,0} \right)

Lösung

Hier ein Graph der Funktion:

Diese Fläche hat über der Kreisfläche mehrere Maxima, die nun gesucht werden. Über der Kreisfläche (ohne den Rand) benutzen wir hierzu das bekannte Vorgehen über Gradient und Hesse-Matrix.

Maxima über der Kreisfläche

Bilden des Gradienten:

F_x  = 2x+y

F_y  = 2y+x

\nabla F\left( {x,y} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    2x+y  \\    2y+x  \\   \end{array} } \right)

Nun suchen wir die Stelle im Definitionsbereich, an der der Gradient verschwindet:

\nabla F\left( {x,y} \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    2x+y  \\    2y+x  \\   \end{array} } \right) = 0

2x+y = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad y = -2x

2y+x = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad -4x+x = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad x = 0

y = 0

Die einzige kritische Stelle ist also bei (0, 0). Wir berechnen nun die Hessematrix:

F_{xx}  = 2

F_{yx}  = 1

F_{xy}  = 1

F_{yy}  = 2

H\left( {F\left( {0,0} \right)} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    2 & 1  \\    1 & 2  \\   \end{array} } \right)

Die Hessematrix ist konstant (normalerweise hängt sie von den Variablen x und y ab) und nach dem Hauptminorenkriterium positiv definit. Daraus folgt, dass an der Stelle (0, 0) ein Minimum vorliegt.
Setzt man (0, 0) in die Funktion ein, so erhält man auch als Funktionswert 0.

Maxima über dem Rand der Kreisfläche

Hier müssen wir das Vorgehen über den “Satz von der impliziten Funktion” wählen. Wir finden Extremstellen mit dem Kriterium, dass im Maximum die Gradienten der betrachteten Funktion und der Funktion der Nebenbedingung parallel sind:

\nabla F = \lambda \nabla G

Der Gradient von F ist bereits bekannt:

\nabla F\left( {x,y} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    2x+y  \\    2y+x  \\   \end{array} } \right)

Wir benötigen nun die Funktion der Nebenbedingung. Sie soll einen Kreis in der Ebene darstellen, die der gegebenen Menge entspricht:

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x^2 +y^2  = 1} \right\}

Die Funktion ist daher:

G\left( {x,y} \right) = x^2 +y^2 -1

Die Werte für G = 0 entsprechen genau dem gesuchten Kreisring.

Der Gradient der Funktion ist:

G_x  = 2x

G_y  = 2y

\nabla G = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    2x  \\    2y  \\   \end{array} } \right)

In den Satz der impliziten Funktion eingesetzt

\nabla F = \lambda \nabla G

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    2x+y  \\    2y+x  \\   \end{array} } \right) = \lambda \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    2x  \\    2y  \\   \end{array} } \right)

erhalten wir drei Gleichungen:

2x+y = \lambda 2x

2y+x = \lambda 2y

x^2 +y^2  = 1

Die drei Gleichungen ergeben die drei Unbekannten:

2x+y = \lambda 2x\quad  \to \quad \frac{{2x+y}} {{2x}} = \lambda

2y+x = \lambda 2y\quad  \to \quad \frac{{2y+x}} {{2y}} = \lambda

\frac{{2x+y}} {{2x}} = \frac{{2y+x}} {{2y}}\quad  \to \quad \frac{y} {{2x}} = \frac{x} {{2y}}\quad  \to \quad 2y^2  = 2x^2 \quad  \to \quad y = x

x^2 +y^2  = 1\quad  \to \quad x^2  = y^2  = \frac{1} {2}\quad  \to \quad x = y =  \pm \frac{1} {{\sqrt 2 }}

Demzufolge gibt es vier mögliche Extremstellen über dem Kreisrand:

\left( {x,y} \right)_{\max }  = \left\{ {\left( {-\frac{1} {{\sqrt 2 }},-\frac{1} {{\sqrt 2 }}} \right),\left( {-\frac{1} {{\sqrt 2 }},\frac{1} {{\sqrt 2 }}} \right),\left( {\frac{1} {{\sqrt 2 }},-\frac{1} {{\sqrt 2 }}} \right),\left( {\frac{1} {{\sqrt 2 }},\frac{1} {{\sqrt 2 }}} \right)} \right\}

Die Funktionswerte an diesen Stellen:

F\left( {x,y} \right): = x^2 +xy+y^2

F\left( {-\frac{1} {{\sqrt 2 }},-\frac{1} {{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1} {2}+\frac{1} {2}+\frac{1} {2} = \frac{3} {2}

F\left( {-\frac{1} {{\sqrt 2 }},\frac{1} {{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1} {2}-\frac{1} {2}+\frac{1} {2} = \frac{1} {2}

F\left( {\frac{1} {{\sqrt 2 }},-\frac{1} {{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1} {2}-\frac{1} {2}+\frac{1} {2} = \frac{1} {2}

F\left( {\frac{1} {{\sqrt 2 }},\frac{1} {{\sqrt 2 }}} \right) = \frac{1} {2}+\frac{1} {2}+\frac{1} {2} = \frac{3} {2}

Die Extrema liegen also auf den Winkelhalbierenden und nehmen verschieden große Werte an.