27 – mehrdimensionale Integration und Differentiation

 

Sei

f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

durch

f\left( {x,y} \right): = \cos \left( x \right)+\cos \left( y \right)

definiert. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Gleichungen:

  1. \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y\partial x}} = 0

  2. \int_0^x {\int_0^y {\frac{\partial } {{\partial s}}} } f\left( {s,t} \right)dtds = \int_0^y {f\left( {x,t} \right)dt}

  3. \frac{\partial } {{\partial x}}\int_0^y {\int_0^x {f\left( {s,t} \right)dsdt} } = \int_0^y {f\left( {x,t} \right)dt}

Lösung

Hier ein Schaubild der Funktion:

Sie sieht fast aus wie die mehrdimensionale Glockenkurve, der Unterschied wird erst bei einem größeren Intervall deutlich:

Nun kommen wir zu den drei Gleichungen.

a )

\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y\partial x}} = 0

Wir berechnen die partielle Ableitung nach x:

\frac{\partial } {{\partial x}} = -\sin \left( x \right)

Die Ableitung hängt nicht mehr von y ab. Wenn wir nun also nach y partiell ableiten, verschwindet die zweite partielle Ableitung:

\frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y\partial x}} = 0

b )

\int_0^x {\int_0^y {\frac{\partial } {{\partial s}}} } f\left( {s,t} \right)dtds = \int_0^y {f\left( {x,t} \right)dt}

Wir setzen die partielle Ableitung ein und integrieren:

\int_0^x {\int_0^y {\frac{\partial } {{\partial s}}} } f\left( {s,t} \right)dtds = \int_0^x {\int_0^y {-\sin \left( s \right)dtds} } = \int_0^x {-y\sin \left( s \right)ds} = \left. {y\cos \left( s \right)} \right]_0^x

= y\cos \left( x \right)-y

Vergleich mit der rechten Seite der Gleichung:

\int_0^y {f\left( {x,t} \right)dt} = \int_0^y {\cos \left( x \right)+\cos \left( t \right)dt} = \left[ {t\cos \left( x \right)+\sin \left( t \right)} \right]_0^y

= y\cos \left( x \right)+\sin \left( y \right)

Die Ergebnisse sind unterschiedlich. Dier partielle Ableitung kann also nicht einfach aus dem Integral herausgezogen werden, so dass sie sich mit der Integration aufhebt.

c )

\frac{\partial } {{\partial x}}\int_0^y {\int_0^x {f\left( {s,t} \right)dsdt} } = \int_0^y {f\left( {x,t} \right)dt}

Wir formen die linke Seite um, indem wir die Reihenfolge der Integrale vertauschen:

\frac{\partial } {{\partial x}}\int_0^y {\int_0^x {f\left( {s,t} \right)dsdt} } = \frac{\partial } {{\partial x}}\int_0^x {\int_0^y {f\left( {s,t} \right)dtds} }

Das äußere Integral und die partielle Ableitung heben sich nun auf:

\frac{\partial } {{\partial x}}\int_0^y {\int_0^x {f\left( {s,t} \right)dsdt} } = \frac{\partial } {{\partial x}}\int_0^x {\int_0^y {f\left( {s,t} \right)dtds} } = \int_0^y {f\left( {x,t} \right)dt}