Sei
durch
definiert. Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Gleichungen:
Lösung
Hier ein Schaubild der Funktion:
Sie sieht fast aus wie die mehrdimensionale Glockenkurve, der Unterschied wird erst bei einem größeren Intervall deutlich:
Nun kommen wir zu den drei Gleichungen.
a )
Wir berechnen die partielle Ableitung nach x:
Die Ableitung hängt nicht mehr von y ab. Wenn wir nun also nach y partiell ableiten, verschwindet die zweite partielle Ableitung:
b )
Wir setzen die partielle Ableitung ein und integrieren:
Vergleich mit der rechten Seite der Gleichung:
Die Ergebnisse sind unterschiedlich. Dier partielle Ableitung kann also nicht einfach aus dem Integral herausgezogen werden, so dass sie sich mit der Integration aufhebt.
c )
Wir formen die linke Seite um, indem wir die Reihenfolge der Integrale vertauschen:
Das äußere Integral und die partielle Ableitung heben sich nun auf: