28 – Integration der mehrdimensionalen Glockenkurve

Sei

$g:\mathbb R ^2$

durch

$g \left( x, y \right) := e^{-x^2}+e^{-y^2}$

definiert. Berechnen Sie

$\frac{\partial } {{\partial y}}\left( {\int_0^x {g\left( {s,y} \right)ds} } \right)$

Lösung

Die Funktion ist eine dreidimensionale Glockenkurve (Gauß-Funktion):

und nicht integrierbar. Wir können allerdings die Reihenfolge der Operationen vertauschen:

$D_y \int_0^x {g\left( {s,y} \right)ds} = \int_0^x {D_y g\left( {s,y} \right)ds}$

Das geht, obwohl zwar nach y differenziert, aber nach x integriert wird.

$g\left( {x,y} \right): = e^{-x^2 } +e^{-y^2 }$

$D_y g\left( {s,y} \right) = -2y \cdot e^{-y^2 }$

eingesetzt:

$D_y \int_0^x {g\left( {s,y} \right)ds} = \int_0^x {D_y g\left( {s,y} \right)ds} = \int_0^x {-2y \cdot e^{-y^2 } ds}$

Im Integral stehen nun keine Variablen, die von x abhängen, die Funktion kann daher vor das Integral gezogen werden:

$\int_0^x {-2y \cdot e^{-y^2 } ds} = -2y \cdot e^{-y^2 } \int_0^x {ds} = -2xy \cdot e^{-y^2 }$