28 – Stablängsschwingungen 2 – Randbedingungen

 

Im letzten Artikel wurde die Herleitung der Differentialgleichung für Stablängsschwingungen besprochen. Diese lautet:

u\left( {x,t} \right)  = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left( {C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x} \right)\left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}

mit der Wellenzahl k_j  = \frac{{\omega _j }} {{c_D }}

Nun betrachten wir die Randbedingungen. Es müssen mehrere Fälle unterschieden werden.

Einspannung (clamped)

Abkürzung: c

Es gilt:

u\left( {x_1 ,t} \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad \hat u_j \left( {x_1 } \right) = 0

Freies Ende (free):

Abkürzung: f

Es gilt:

N\left( {x_1 ,t} \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad \hat u_j \left( {x_1 } \right) = 0

Beispiel für Standard-Randbedingungen

Stab c-c (beidseitig eingespannt, Länge l)

Ortsfunktion

\hat u_j \left( x \right) = C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x

Randbedingungen:

\hat u_j \left( 0 \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad C_j  = 0

\hat u_j \left( l \right) = 0

Eigenwertgleichung:

\Rightarrow \quad \sin \left( {k_j l} \right) = 0

Aus der Eigenwertgleichung folgen die Eigenwerte:

\sin \left( {k_j l} \right) = 0\quad  \Rightarrow \quad k_j l = j\pi ,\quad \quad j \in \mathbb{N}

Für die Eigenkreisfrequenzen folgt:

\omega _j  = k_j c_D  = \frac{{k_j l}} {l}c_D  = \frac{{j\pi }} {l}\sqrt {\frac{E} {\rho }}

und die Eigenfrequenzen:

f_j  = \frac{{\omega _j }} {{2\pi }} = \frac{j} {{2l}}\sqrt {\frac{E} {\rho }}

und die Eigenfunktionen (Eigenschwingungsform):

\hat u\left( x \right) = \sin \left( {k_j l\frac{x} {l}} \right) = \sin \left( {j\pi \frac{x} {l}} \right)