28 – Stablängsschwingungen 2 – Randbedingungen

Im letzten Artikel wurde die Herleitung der Differentialgleichung für Stablängsschwingungen besprochen. Diese lautet:

<br /> u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty {\left( {C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x} \right)\left( {A_j \cos \omega _j t+B_j \sin \omega _j t} \right)}<br />

mit der Wellenzahl <br /> k_j = \frac{{\omega _j }}<br /> {{c_D }}<br />

Nun betrachten wir die Randbedingungen. Es müssen mehrere Fälle unterschieden werden.

Einspannung (clamped)

Abkürzung: c

Es gilt:

<br /> u\left( {x_1 ,t} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \hat u_j \left( {x_1 } \right) = 0<br />

Freies Ende (free):

Abkürzung: f

Es gilt:

<br /> N\left( {x_1 ,t} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad \hat u_j \left( {x_1 } \right) = 0<br />

Beispiel für Standard-Randbedingungen

Stab c-c (beidseitig eingespannt, Länge l)

Ortsfunktion

<br /> \hat u_j \left( x \right) = C_j \cos k_j x+D_j \sin k_j x<br />

Randbedingungen:

<br /> \hat u_j \left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_j = 0<br />

<br /> \hat u_j \left( l \right) = 0<br />

Eigenwertgleichung:

<br /> \Rightarrow \quad \sin \left( {k_j l} \right) = 0<br />

Aus der Eigenwertgleichung folgen die Eigenwerte:

<br /> \sin \left( {k_j l} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad k_j l = j\pi ,\quad \quad j \in \mathbb{N}<br />

Für die Eigenkreisfrequenzen folgt:

<br /> \omega _j = k_j c_D = \frac{{k_j l}}<br /> {l}c_D = \frac{{j\pi }}<br /> {l}\sqrt {\frac{E}<br /> {\rho }}<br />

und die Eigenfrequenzen:

<br /> f_j = \frac{{\omega _j }}<br /> {{2\pi }} = \frac{j}<br /> {{2l}}\sqrt {\frac{E}<br /> {\rho }}<br />

und die Eigenfunktionen (Eigenschwingungsform):

<br /> \hat u\left( x \right) = \sin \left( {k_j l\frac{x}<br /> {l}} \right) = \sin \left( {j\pi \frac{x}<br /> {l}} \right)<br />

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