3. Infinitesimalrechnung, Differentialrechnung

 

Gegeben sei eine Funktion f(x) mit dem dazugehörigen Graphen. Es soll nun die Steigung des Graphen an einem bestimmten Punkt berechnet werden, der auf dem Graphen liegt:

Die Steigung wird berechnet, indem die Differenz der Y-Werte in einem Intervall um den Punkt durch die Differenz der X-Werte geteilt wird:

m_{pP_0 }  = \frac{{\Delta y}} {{\Delta x}} = \frac{{y-y_0 }} {{x-x_0 }} = \frac{{f\left( x \right)-f\left( {x_0 } \right)}} {{x-x_0 }}

Man nennt das Ergebnis den Differenzenquotient. Wenn nun das Intervall um den Punkt immer weiter verkleinert wird, bis es gegen 0 strebt, so erhält man den Grenzwert für den Differenzenquotient:

f^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{x \to x_0 } \frac{{f\left( x \right)-f\left( {x_0 } \right)}} {{x-x_0 }}

Für die Breite des Intervalls, dass von x und x0 eingeschlossen wird schreibt man:
x = x0+h
h = x-x0

Eingesetzt:

f^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x_0 +h} \right)-f\left( {x_0 } \right)}} {h}

Diesen Grenzwert, den Differentialquotient definiert man als die Steigung der Funktion. Die Funktion, die durch die Steigung gebildet wird, ist die Ableitung.
Es können nur stetige und differenzierbare Funktionen abgeleitet werden. Eine Funktion heißt stetig, wenn verschwindend kleine Änderungen des Argumentes nur zu verschwindend kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Das heißt insbesondere, dass in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten.

Eine Ausnahme von dieser Regel ist die folgende Funktion:

y = \left| x \right|

Sie ist überall stetig aber bei (0,0) nicht differenzierbar.
Wenn eine Funktion stetig ist, muss sie also nicht auch differenzierbar sein. Es gibt auch Funktionen, die überall stetig aber nirgendwo differenzierbar sind, so zum Beispiel die Weierstraß-Funktion:

f\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {b^n \cos \left( {a^n \pi x} \right)}

Dabei muss a eine ungerade Zahl sein und b zwischen 0 und 1. Außerdem muss gelten:

ab > 2+\frac{3} {2}\pi

Es soll nun an einem Beispiel die Berechnung der Ableitungsfunktion veranschaulicht werden:

f\left( x \right) = x^2

f^{\prime}\left( {x } \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{\left( {x +h} \right)^2 -x ^2 }} {h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{2hx +h^2 }} {h} = 2x

Beispiel 2:

f\left( x \right) = \frac{1} {x}

f^{\prime}\left( {x_0 } \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{\frac{1} {{x_0 +h}}-\frac{1} {{x_0 }}}} {h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{\frac{{x_0 -\left( {x_0 +h} \right)}} {{x_0 \left( {x_0 +h} \right)}}}} {h} = -\frac{1} {{x_0 ^2 }}

Hier noch einige einfach Ableitungsfunktionen:

f\left( x \right) = c f^{\prime}\left( x \right) = 0
f\left( x \right) = x f^{\prime}\left( x \right) = 1
f\left( x \right) = x^2 f^{\prime}\left( x \right) = 2x
f\left( x \right) = \frac{1}  {x} f^{\prime}\left( x \right) = -\frac{1} {{x^2 }}
f\left( x \right) = \sqrt x f ^{\prime}\left( x \right) = \frac{1} {{2\sqrt x }}
f\left( x \right) = \sin x f ^{\prime}\left( x \right) = \cos x
f\left( x \right) = \cos x f ^{\prime}\left( x \right) = -\sin x

Bei einer Geraden gilt an jeder Stelle für die Steigung a:

\frac{{\Delta y}} {{\Delta x}} = a

bei jeder differenzierbaren Funktion gilt an jeder Stelle für die Steigung a:

\frac{{dy}} {{dx}} = a

dy = adx

Man schreibt:

\frac{{dy}} {{dx}} = f ^{\prime}\left( x \right)

dy = f ^{\prime}\left( x \right)dx

Beispiel aus der Physik:
Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist die Geschwindigkeit:

\frac{{ds}} {{dt}} = v

Ableitungsregeln

f\left( x \right) = u\left( x \right) \pm v\left( x \right)

f ^{\prime}\left( x \right) = u ^{\prime}\left( x \right) \pm v ^{\prime}\left( x \right)

f\left( x \right) = cx

f ^{\prime}\left( x \right) = c

Produktregel

f\left( x \right) = u\left( x \right)v\left( x \right)

f ^{\prime}\left( x \right) = u ^{\prime}\left( x \right)v\left( x \right)+u\left( x \right)v ^{\prime}\left( x \right)

Beispiel:

f\left( x \right) = x^3 \cos x

f ^{\prime}\left( x \right) = 3x^2 \cos x-x^3 \sin x

Quotientenregel

f\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}} {{v\left( x \right)}}

f ^{\prime}\left( x \right) = \frac{{u ^{\prime}\left( x \right)v\left( x \right)-u\left( x \right)v ^{\prime}\left( x \right)}} {{\left( {v\left( x \right)} \right)^2 }}

Beweis:

f\left( x \right)v\left( x \right) = u\left( x \right)

f ^{\prime}\left( x \right)v\left( x \right)+f\left( x \right)v ^{\prime}\left( x \right) = u ^{\prime}\left( x \right)

f ^{\prime}\left( x \right) = \frac{{u ^{\prime}\left( x \right)-f\left( x \right)v ^{\prime}\left( x \right)}} {{v\left( x \right)}}

f\left( x \right) = \frac{{u\left( x \right)}} {{v\left( x \right)}}

Zusammengesetzte Funktionen

Beispiel:

f\left( x \right) = \sqrt {x^2 +1}

f\left( x \right) = \sin \left( {2x+1} \right)

Es muss die Kettenregel angewendet werden:

f\left( x \right) = u\left( {v\left( x \right)} \right)

f ^{\prime}\left( x \right) = u ^{\prime}\left( {v\left( x \right)} \right) \cdot v ^{\prime}\left( x \right)

Ableitung der ersten Funktion:

f\left( x \right) = \left( {x^2 +1} \right)^{\frac{1} {2}}

f ^{\prime}\left( x \right) = \frac{1} {2}\left( {x^2 +1} \right)^{-\frac{1} {2}}  \cdot 2 = \frac{x} {{\sqrt {x^2 +1} }}

Ableitung der zweiten Funktion:

f\left( x \right) = \sin \left( {2x+1} \right)

f ^{\prime}\left( x \right) = \cos \left( {2x+1} \right) \cdot 2

Ableitung von tan(x):

f\left( x \right) = \tan x = \frac{{\sin x}} {{\cos x}} = \sin x\cos ^{-1} x

f ^{\prime}\left( x \right) = \cos x\cos ^{-1} x+\sin x\cos ^{-2} x\sin x = 1+\frac{{\sin ^2 x}} {{\cos ^2 x}} = \frac{{\cos ^2 x}} {{\cos ^2 x}}+\frac{{\sin ^2 x}} {{\cos ^2 x}} = \frac{1} {{\cos ^2 x}}

Einige spezielle Funktionen

1. Die e-Funktion

Die e-Funktion beruht auf der Eulerschen Zahl e, die wie folgt definiert ist:

e = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {1+\frac{1} {n}} \right)^n

Die Funktion ändert sich beim Ableiten nicht:

f\left( x \right) = e^x

f ^{\prime}\left( x \right) = e^x

Bei konstanten Faktoren verfährt man nach der Kettenregel:

f\left( x \right) = e^{2x+3}

f ^{\prime}\left( x \right) = 2e^{2x+3}

2. ax

f\left( x \right) = a^x

\ln \left( {f\left( x \right)} \right) = x\ln a

f ^{\prime}\left( x \right) = e^{x\ln a} \ln a = a^x \ln a

xx

f\left( x \right) = x^x

f ^{\prime}\left( x \right) = x^x \left( {\ln x+1} \right)

Logarithmische Ableitung

f sei eine differenzierbare Funktion f(x)>0
Die Ableitung der Funktion (ln f) ist:

\left( {\ln f} \right) ^{\prime}= \frac{{f ^{\prime}}} {f}

Beispiel:

f\left( x \right) = x^2

\left( {\ln f} \right) ^{\prime}= \frac{{d\left( {x\ln x} \right)}} {{dx}} = \ln x+1

f ^{\prime}\left( x \right) = \ln \left( {\ln f} \right) ^{\prime}\cdot f = x^x  \cdot \left( {\ln x+1} \right)

Implizite Ableitung

Die implizite Ableitung wird benötigt, wenn die abzuleitende Funktion nicht ohne weiteres nach y aufzulösen ist. Die implizite Funktionsgleichung muss dann gliedweise abgeleitet werden. Dabei muss man darauf achten, dass y weiterhin von x abhängig ist und daher nach der Kettenregel abgeleitet werden muss:

y ^{\prime}= \frac{{dy}} {{dx}}

Partielle Ableitung

Wenn eine Funktion wie

F\left( {x,y,z} \right)

abgeleitet werden soll (Funktion im Raum), so werden stets zwei Variablen konstant gehalten. Dies nennt man partielle Ableitung. Die partielle Ableitung ist definiert als:

\frac{\partial } {{\partial x_i }} = F\left( {x_1 ,x_1 ,x_1 ,...x_i } \right)

Beispiel:

F\left( {x,y,z} \right) = x^2 +2xy^2 +5z

f_x  = 2x+2y^2