30 – Integration von summierten und multiplizierten Funktionen

 

Seien p, q : \mathbb{R} \to \mathbb{R} stetig.
Vereinfachen Sie

\int_0^y {\left( {\int_0^x {\left( {p\left( s \right) \cdot q\left( t \right)} \right)ds} } \right)dt}

und

\int_0^y {\left( {\int_0^x {\left( {p\left( s \right)+q\left( t \right)} \right)ds} } \right)dt}

Lösung

Beginnen wir mit

\int_0^y {\left( {\int_0^x {\left( {p\left( s \right) \cdot q\left( t \right)} \right)ds} } \right)dt}

Wenn wir nach s integrieren, so ist die Funktion q(t) (die ja nicht von s abhängt) für p(s) nichts weiter als ein konstanter Faktor. Daher können q(t) vor das innere Integral ziehen:

\Rightarrow \int_0^y {\left( {q\left( t \right) \cdot \int_0^x {p\left( s \right)ds} } \right)dt}

Wenn wir dann nach t integrieren gilt analog, dass wir das Integral von p(s) auch wieder herausziehen können, da es für die Integration nach t wie ein konstanter Faktor behandelt wird:

\Rightarrow \int_0^x {p\left( s \right)ds}  \cdot \int_0^y {q\left( t \right)dt}

\Rightarrow \left. {p\left( s \right)} \right|_{s = 0}^x  \cdot \left. {q\left( t \right)} \right|_{t = 0}^y

Wir merken uns also:
Wenn 2 Faktoren unter einem Integral in 2 unabhängige Richtungen (hier s und t) weisen, so können wir sie auch getrennt voneinander integrieren und anschließend multiplizieren.

Kommen wir zur zweiten Funktion:

\int_0^y {\left( {\int_0^x {\left( {p\left( s \right)+q\left( t \right)} \right)ds} } \right)dt}

Wenn wir nach s integrieren, so ist q(t) konstant und wird wie eine Konstante aufgeleitet:

\Rightarrow \int_0^y {\left( {\int_0^x {p\left( s \right)ds+s \cdot q\left( t \right)} } \right)dt}

Das gleiche gilt nun analog für p(s) beim Aufleiten nach t. Beim Aufleiten von q(t) nach t ist s nichts weiter als ein konstanter Faktor:

\Rightarrow t \cdot \int_0^x {p\left( s \right)ds+} s \cdot \int_0^y {q\left( t \right)dt}

\Rightarrow t \cdot \left. {p\left( s \right)} \right|_{s = 0}^x +s \cdot \left. {q\left( t \right)} \right|_{t = 0}^y

Wie man sieht, ist also eine Addition von Funktionen auf ähnliche Weise zerlegbar. Zu beachten ist jedoch der Koeffizient des jeweils anderen Integrals (s, t).