Seien p, q : stetig.
Vereinfachen Sie
und
Lösung
Beginnen wir mit
Wenn wir nach s integrieren, so ist die Funktion q(t) (die ja nicht von s abhängt) für p(s) nichts weiter als ein konstanter Faktor. Daher können q(t) vor das innere Integral ziehen:
Wenn wir dann nach t integrieren gilt analog, dass wir das Integral von p(s) auch wieder herausziehen können, da es für die Integration nach t wie ein konstanter Faktor behandelt wird:
Wir merken uns also:
Wenn 2 Faktoren unter einem Integral in 2 unabhängige Richtungen (hier s und t) weisen, so können wir sie auch getrennt voneinander integrieren und anschließend multiplizieren.
Kommen wir zur zweiten Funktion:
Wenn wir nach s integrieren, so ist q(t) konstant und wird wie eine Konstante aufgeleitet:
Das gleiche gilt nun analog für p(s) beim Aufleiten nach t. Beim Aufleiten von q(t) nach t ist s nichts weiter als ein konstanter Faktor:
Wie man sieht, ist also eine Addition von Funktionen auf ähnliche Weise zerlegbar. Zu beachten ist jedoch der Koeffizient des jeweils anderen Integrals (s, t).