31 – Exponentialfunktion und mehrdimensionale Integration

 

Bestimmen Sie

\int_0^1 {\int_0^2 {x^9 e^{x^5 y} dx} dy}

Lösung

Die Funktion sieht so aus:

Sie geht also jenseits der 1 bzw. -1 schnell gegen unendlich. Dementsprechend wird auch der zu berechnende Flächeninhalt sehr groß werden.

Um die Rechnung zu vereinfachen, vertauschen wir als erstes die Integrale:

\int_0^1 {\int_0^2 {x^9 e^{x^5 y} dx} dy} = \int_0^2 {\int_0^1 {x^9 e^{x^5 y} dydx} }

Integration nach y:

\int_0^2 {\int_0^1 {x^9 e^{x^5 y} dydx} } = \int_0^2 {\left[ {x^9 \cdot \frac{1} {{x^5 }}e^{x^5 y} } \right]_0^1 dx} = \int_0^2 {x^4 e^{x^5 } -x^4 dx}

Integration nach x:

Idee:

\left( {e^{x^5 } } \right) ^{\prime}= \frac{1} {5}x^4 e^{x^5 }

Angewandt:

\int_0^2 {x^4 e^{x^5 } dx} = \left[ {\frac{1} {5}e^{x^5 } } \right]_0^2

Also:

\int_0^2 {x^4 e^{x^5 } -x^4 dx} = \left[ {\frac{1} {5}e^{x^5 } -\frac{1} {5}x^5 } \right]_0^2 = \frac{1} {5}\left( {e^{32} -32-1} \right) = \frac{1} {5}\left( {e^{32} -33} \right)