3.2 – rotierende Walze mit angehängter Stange

 

Eine Walze mit dem Radius a rollt auf einer horizontalen Unterlage mit konstanter Geschwindigkeit v0 des Walzenmittelpunktes O. Sie schleppt einen im Zapfen B angelenkten Stab S der Länge l.
Man berechne die Winkelgeschwindigkeit ω des Stabes in Abhängigkeit vom Walzungswinkel φ der Walze.

gegeben:

a, b, l > a+b, v0

Lösung

Zunächst eine Skizze:

Wir wollen nun den Winkel α in Abhängigkeit vom Winkel φ beschreiben. Hierzu ein paar trigonometrische Betrachtungen. (zudem führen wir ein Koordinatensystem im Walzenschwerpunkt ein)

Es gilt also:

\sin \alpha  = \frac{{a-b\cos \varphi }} {l}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad l\sin \alpha  = a-b\cos \varphi

Das Ziel ist es nun, die Winkelgeschwindigkeit zu berechnen. Wir leiten daher ab:

l\sin \alpha  = a-b\cos \varphi \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad l\dot \alpha \cos \alpha  = b\dot \varphi \sin \varphi \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \dot \alpha  = \frac{{b\dot \varphi \sin \varphi }} {{l\cos \alpha }}

Nun haben wir eine Gleichung für die Winkelgeschwindigkeit, allerdings ist diese vom Winkel α abhängig. Wir ersetzen gemäß Skizze und mit dem Satz von Pythagoras:

l\cos \alpha  = \sqrt {l^2 -\left( {a-b\cos \varphi } \right)^2 } \quad \quad  \to \quad \quad \dot \alpha  = \frac{{b\dot \varphi \sin \varphi }} {{\sqrt {l^2 -\left( {a-b\cos \varphi } \right)^2 } }}

Die gesuchte Winkelgeschwindigkeit hängt nun noch von der anderen Winkelgeschwindigkeit ab. Diese ist bislang unbekannt.

Wir nutzen im Folgenden die Eulersche Geschwindigkeitsformel:

\vec v = \vec v_F +\vec \omega  \times \left( {\vec r-\vec r_F } \right)

Diese wenden wir auf den Momentanpol an. Betrachtet man eine infinitesimale Bewegung der Walze in Richtung v0, so haben alle Punkte der Walze unterschiedliche Eigengeschwindigkeiten, resultierend aus der Kombination von Translation und Rotation der Walze.
Der einzige Punkt, der sich nicht bewegt, ist der Auflagepunkt der Walze auf der Ebene, direkt unter ihrem Schwerpunkt. Diesen Punkt nennt man Momentanpol, da er für den “Moment” der “Pol” ist, um den sich das ganze System dreht.

Der Ortsvektor des Momentanpols sei rM. Seine Geschwindigkeit vM = 0. In die Eulersche Geschwindigkeitsgleichung eingesetzt:

\vec v_M  = \vec v_0 +\dot {\vec {\varphi}}  \times \left(\vec r_M -\vec r_0  \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \vec v_0 +\dot{\vec{\varphi}}  \times \left( {\vec r_M } \right) = 0

Für den Ortsvektor des Momentanpols gilt, da er sich in negativer y-Richtung befindet:

\vec r_M  = -a\vec e_y

Wenn die Walze nach rechts rollt, dreht sich auch der Winkel rechtsherum. Der Vektor der Winkelgeschwindigkeit zeigt dann nach hinten, also entgegen der nach vorne zeigenden z-Achse:

\dot{ \vec {\varphi}}  = -\dot \varphi \vec e_z

eingesetzt:

\vec v_0 -\dot \varphi \vec e_z  \times \left( {-a\vec e_y } \right) = 0

Es gilt weiterhin:

\vec e_z  \times \vec e_y  = -\vec e_x \quad \quad  \to \quad \quad \vec v_0 -a\dot \varphi \vec e_x  = 0

Auch der Anfangsgeschwindigkeitsvektor zeigt in x-Richtung, wir können daher ausklammern:

\vec e_x \left( {v_0 -a\dot \varphi } \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad v_0 -a\dot \varphi  = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \frac{{v_0 }} {a} = \dot \varphi

in die Gleichung für die gesuchte Winkelgeschwindigkeit eingesetzt:

\dot \alpha  = \frac{{b\dot \varphi \sin \varphi }} {{\sqrt {l^2 -\left( {a-b\cos \varphi } \right)^2 } }}\quad \quad  \to \quad \quad \dot \alpha  = \frac{{v_0 }} {a}\frac{{b\sin \varphi }} {{\sqrt {l^2 -\left( {a-b\cos \varphi } \right)^2 } }}

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