32 – Balkenschwingungen 1 – Herleitung der DGL

Wird ein Balken gebogen, dehnt sich die eine Seite, die andere wird zusammengedrückt. Dadurch bekommt die hauptsächlich transversale Schwingung auch longitudinale Komponenten.

Hier sollen nur Balken betrachtet werden, die der Theorie nach Bernoulli entsprechen (bei der Biegung bleibt der Querschnitt eben und steht immer senkrecht auf der neutralen Faser).

Herleitung der Differentialgleichung

Um die Differentialgleichung herzuleiten, schneiden wir als erstes ein infinitesimales Balkenelement frei und tragen die Querkräfte, Normalkräfte und Momente ein:

Herleitung Balkenschwingung Differentialgleichung

Schwerpunktsatz

Der Schwerpunktsatz in z-Richtung lautet:

$dm\ddot w = \left( {Q_z +dQ_z } \right)\cos \left( {\alpha +d\alpha } \right)+\left( {N+dN} \right)\sin \left( {\alpha +d\alpha } \right)-Q_z \cos \alpha$

$-N\sin \alpha +q_z ds$

wobei für das Massenelement gilt:

$dm = \rho Ads$

Vereinfachende Annahmen: Wegen des kleinen Winkels gilt:

$ds \approx dx$

$\sin d\alpha \approx d\alpha$

$\cos d\alpha \approx 1$

Wir verwenden die folgenden Additionstheoreme:

$\sin \left( {\alpha +d\alpha } \right) = \sin \alpha \cos d\alpha +\cos \alpha \sin d\alpha = \sin \alpha +d\alpha \cos \alpha$

$\cos \left( {\alpha +d\alpha } \right) = \cos \alpha \cos d\alpha -\sin \alpha \sin d\alpha = \cos \alpha -d\alpha \sin \alpha$

Eingesetzt ergibt sich

$\rho Adx\ddot w = \left( {Q_z +dQ_z } \right)\left( {\cos \alpha -d\alpha \sin \alpha } \right)+\left( {N+dN} \right)\left( {\sin \alpha +d\alpha \cos \alpha } \right)$

$-Q_z \cos \alpha -N\sin \alpha +q_z dx$

Vereinfachen und Linearisieren

Wir multiplizieren aus und stellen um. Dabei werden Größen zweiter Ordnung vernachlässigt (klein · klein = sehr klein):

$\rho Adx\ddot w = Q_z \cos \alpha -Q_z \cos \alpha +\cos \alpha dQ_z -Q_z d\alpha \sin \alpha -\underbrace {d\alpha dQ_z }_0\sin \alpha +N\sin \alpha$

$-N\sin \alpha +\sin \alpha dN+N\cos \alpha d\alpha +\underbrace {d\alpha dN}_0\cos \alpha +q_z dx$

$\rho Adx\ddot w = \cos \alpha dQ_z -Q_z d\alpha \sin \alpha +\sin \alpha dN+N\cos \alpha d\alpha +q_z dx$

Nun müssen wir die Werte dα, dQ_z und dN bestimmen. Dazu führen wir jeweils eine Taylorreihenentwicklung bis zum ersten Schritt durch (wir linearisieren also) und erhalten:

$d\alpha = \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}dx$

$dQ_z = \frac{{\partial Q_z }} {{\partial x}}dx$

$dN = \frac{{\partial N}} {{\partial x}}dx$

Dies setzen wir in die ausmultiplizierte Gleichung oben ein:

$\rho Adx\ddot w = \frac{{\partial Q_z }} {{\partial x}}dx\cos \alpha -Q_z \sin \alpha \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}dx+\frac{{\partial N}} {{\partial x}}dx\sin \alpha +\frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}dxN\cos \alpha +q_z dx$

Da das dx in jedem Summanden vorkommt, können wir kürzen:

$\rho A\ddot w = \frac{{\partial Q_z }} {{\partial x}}\cos \alpha -Q_z \sin \alpha \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}+\frac{{\partial N}} {{\partial x}}\sin \alpha +\frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}N\cos \alpha +q_z$

Es lässt sich durch Ausdifferenzieren unter Berücksichtigung der Produktregel und der inneren Ableitung zeigen, dass die folgende Gleichung mit der vorherigen übereinstimmt:

$\rho A\ddot w = \frac{\partial } {{\partial x}}\left( {N\sin \alpha } \right)+\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {Q_z \cos \alpha } \right)+q_z$

Es gilt nämlich:

$\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {N\sin \alpha } \right) = \frac{{\partial N}} {{\partial x}}\sin \alpha +N\cos \alpha \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}$

$\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {Q_z \cos \alpha } \right) = \frac{{\partial Q_z }} {{\partial x}}\cos \alpha -Q_z \sin \alpha \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}$

Anschließend führen wir noch weitere Vereinfachungen ein, die auf der geringen Größe des Winkels beruhen:

$\sin \alpha \approx \tan \alpha \approx \alpha \approx \frac{{\partial w}} {{\partial x}} = w^{\prime}$

$\cos \alpha \approx 1$

Daraus folgt:

$\rho A\ddot w = \left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +Q_z^{\prime} +q_z$

Drallsatz

Wir stellen nun den Drallsatz um den Schwerpunkt auf:

$d\Theta _y \ddot \alpha = -\left( {M_y +dM_y } \right)+M_y +\frac{1} {2}dsQ_z +\frac{1} {2}ds\left( {Q_z +dQ_z } \right)$

Nach dem Ausmultiplizieren können Größen zweiter Ordnung wieder vernachlässigt werden (dsdQ_z):

$d\Theta _y \ddot \alpha = -dM_y +dsQ_z$

Da der Winkel alpha klein ist, gilt näherungsweise:

$ds \approx dx$

$dM_y \approx \frac{{\partial M_y }} {{\partial x}}dx$

$d\Theta _y \approx \rho I_y dx$

Einsetzen:

$\rho I_y dx\ddot \alpha = -\frac{{\partial M_y }} {{\partial x}}dx+dxQ_z$

dx kann ausgeklammert werden:

$\rho I_y \ddot \alpha = -\frac{{\partial M_y }} {{\partial x}}+Q_z$

Aus den schon beim Schwerpunktsatz verwendeten Annahmen

$\sin \alpha \approx \tan \alpha \approx \alpha \approx \frac{{\partial w}} {{\partial x}} = w^{\prime}$

$\cos \alpha \approx 1$

folgt für den Drallsatz:

$\rho I_y \ddot w^{\prime} = -M_y^{\prime} +Q_z$

Die beiden aus Schwerpunktsatz und Drallsatz folgenden Formeln sind also

$\rho A\ddot w = \left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +Q_z^{\prime} +q_z$

$\rho I_y \ddot w^{\prime} = -M_y^{\prime} +Q_z$

Um die Querkraft eleminieren zu können, müssen wir die zweite Gleichung nach dem Ort ableiten:

$\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime} = -M_y^{\prime\prime} +Q_z^{\prime}$

Nun ziehen wir das Ergebnis von der ersten Gleichung ab:

$\rho A\ddot w-\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime} = \left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +Q_z^{\prime} +q_z +M_y^{\prime\prime} -Q_z^{\prime}$

$\Rightarrow \rho A\ddot w = \left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +M_y^{\prime\prime} +\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime} +q_z$

Im letzten Schritt setzen wir die Materialgleichung ein:

$M_y = -EI_y w^{\prime\prime}$

$\rho A\ddot w = -\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} +\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime} +\left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +q_z$

(Differentialgleichung der Balkenschwingung)

Sonderfälle

Die DGL enthält mehrere Sonderfälle.

Saitenschwingung

Wir setzen

$EI_y = 0$

$\rho I_y = 0$

$N = S = const$

und erhalten die DGL der Saitenschwingung:

$Sw^{\prime\prime} +q_z = \rho A\ddot w$

Stabilitätsanalyse von Balken bzw. Stäben

Es gilt:

$\rho I_y = 0$

$\ddot w = 0$

Damit wird aus der vollständigen Gleichung

$\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} -\left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} = q_z$

Bei konstanter Normalkraft N = -F = const folgt daraus:

$\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} +Fw^{\prime\prime} = q_z$

Vereinfachung der Balkenschwingung

Meist wird der Balken als frei von Normalkräften angenommen und die rotatorische Trägheit vernachlässigt. aus der vollständigen Formel

$-\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} +\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime} +\left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +q_z = \rho A\ddot w$

folgt dann für die vereinfachte Balkenschwingung:

$-\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} +q_z = \rho A\ddot w$

bzw bei konstantem E-Modul und Biegesteifigkeit:

$-EI_y w^{\prime\prime\prime\prime} +q_z = \rho A\ddot w$

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