32 – Balkenschwingungen 1 – Herleitung der DGL

 

Wird ein Balken gebogen, dehnt sich die eine Seite, die andere wird zusammengedrückt. Dadurch bekommt die hauptsächlich transversale Schwingung auch longitudinale Komponenten.

Hier sollen nur Balken betrachtet werden, die der Theorie nach Bernoulli entsprechen (bei der Biegung bleibt der Querschnitt eben und steht immer senkrecht auf der neutralen Faser).

Herleitung der Differentialgleichung

Um die Differentialgleichung herzuleiten, schneiden wir als erstes ein infinitesimales Balkenelement frei und tragen die Querkräfte, Normalkräfte und Momente ein:

Herleitung Balkenschwingung Differentialgleichung

Schwerpunktsatz

Der Schwerpunktsatz in z-Richtung lautet:

dm\ddot w = \left( {Q_z +dQ_z } \right)\cos \left( {\alpha +d\alpha } \right)+\left( {N+dN} \right)\sin \left( {\alpha +d\alpha } \right)-Q_z \cos \alpha

-N\sin \alpha +q_z ds

wobei für das Massenelement gilt:

dm = \rho Ads

Vereinfachende Annahmen: Wegen des kleinen Winkels gilt:

ds \approx dx

\sin d\alpha  \approx d\alpha

\cos d\alpha  \approx 1

Wir verwenden die folgenden Additionstheoreme:

\sin \left( {\alpha +d\alpha } \right) = \sin \alpha \cos d\alpha +\cos \alpha \sin d\alpha  = \sin \alpha +d\alpha \cos \alpha

\cos \left( {\alpha +d\alpha } \right) = \cos \alpha \cos d\alpha -\sin \alpha \sin d\alpha  = \cos \alpha -d\alpha \sin \alpha

Eingesetzt ergibt sich

\rho Adx\ddot w = \left( {Q_z +dQ_z } \right)\left( {\cos \alpha -d\alpha \sin \alpha } \right)+\left( {N+dN} \right)\left( {\sin \alpha +d\alpha \cos \alpha } \right)

-Q_z \cos \alpha -N\sin \alpha +q_z dx

Vereinfachen und Linearisieren

Wir multiplizieren aus und stellen um. Dabei werden Größen zweiter Ordnung vernachlässigt (klein · klein = sehr klein):

\rho Adx\ddot w = Q_z \cos \alpha -Q_z \cos \alpha +\cos \alpha dQ_z -Q_z d\alpha \sin \alpha -\underbrace {d\alpha dQ_z }_0\sin \alpha +N\sin \alpha

-N\sin \alpha +\sin \alpha dN+N\cos \alpha d\alpha +\underbrace {d\alpha dN}_0\cos \alpha +q_z dx

\rho Adx\ddot w = \cos \alpha dQ_z -Q_z d\alpha \sin \alpha +\sin \alpha dN+N\cos \alpha d\alpha +q_z dx

Nun müssen wir die Werte dα, dQz und dN bestimmen. Dazu führen wir jeweils eine Taylorreihenentwicklung bis zum ersten Schritt durch (wir linearisieren also) und erhalten:

d\alpha  = \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}dx

dQ_z  = \frac{{\partial Q_z }} {{\partial x}}dx

dN = \frac{{\partial N}} {{\partial x}}dx

Dies setzen wir in die ausmultiplizierte Gleichung oben ein:

\rho Adx\ddot w = \frac{{\partial Q_z }} {{\partial x}}dx\cos \alpha -Q_z \sin \alpha \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}dx+\frac{{\partial N}} {{\partial x}}dx\sin \alpha +\frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}dxN\cos \alpha +q_z dx

Da das dx in jedem Summanden vorkommt, können wir kürzen:

\rho A\ddot w = \frac{{\partial Q_z }} {{\partial x}}\cos \alpha -Q_z \sin \alpha \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}+\frac{{\partial N}} {{\partial x}}\sin \alpha +\frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}N\cos \alpha +q_z

Es lässt sich durch Ausdifferenzieren unter Berücksichtigung der Produktregel und der inneren Ableitung zeigen, dass die folgende Gleichung mit der vorherigen übereinstimmt:

\rho A\ddot w = \frac{\partial } {{\partial x}}\left( {N\sin \alpha } \right)+\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {Q_z \cos \alpha } \right)+q_z

Es gilt nämlich:

\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {N\sin \alpha } \right) = \frac{{\partial N}} {{\partial x}}\sin \alpha +N\cos \alpha \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}

\frac{\partial } {{\partial x}}\left( {Q_z \cos \alpha } \right) = \frac{{\partial Q_z }} {{\partial x}}\cos \alpha -Q_z \sin \alpha \frac{{\partial \alpha }} {{\partial x}}

Anschließend führen wir noch weitere Vereinfachungen ein, die auf der geringen Größe des Winkels beruhen:

\sin \alpha  \approx \tan \alpha  \approx \alpha  \approx \frac{{\partial w}} {{\partial x}} = w^{\prime}

\cos \alpha  \approx 1

Daraus folgt:

\rho A\ddot w = \left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +Q_z^{\prime} +q_z

Drallsatz

Wir stellen nun den Drallsatz um den Schwerpunkt auf:

d\Theta _y \ddot \alpha  = -\left( {M_y +dM_y } \right)+M_y +\frac{1} {2}dsQ_z +\frac{1} {2}ds\left( {Q_z +dQ_z } \right)

Nach dem Ausmultiplizieren können Größen zweiter Ordnung wieder vernachlässigt werden (dsdQz):

d\Theta _y \ddot \alpha  = -dM_y +dsQ_z

Da der Winkel alpha klein ist, gilt näherungsweise:

ds \approx dx

dM_y  \approx \frac{{\partial M_y }} {{\partial x}}dx

d\Theta _y  \approx \rho I_y dx

Einsetzen:

\rho I_y dx\ddot \alpha  = -\frac{{\partial M_y }} {{\partial x}}dx+dxQ_z

dx kann ausgeklammert werden:

\rho I_y \ddot \alpha  = -\frac{{\partial M_y }} {{\partial x}}+Q_z

Aus den schon beim Schwerpunktsatz verwendeten Annahmen

\sin \alpha  \approx \tan \alpha  \approx \alpha  \approx \frac{{\partial w}} {{\partial x}} = w^{\prime}

\cos \alpha  \approx 1

folgt für den Drallsatz:

\rho I_y \ddot w^{\prime}  = -M_y^{\prime} +Q_z

Die beiden aus Schwerpunktsatz und Drallsatz folgenden Formeln sind also

\rho A\ddot w = \left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +Q_z^{\prime} +q_z

\rho I_y \ddot w^{\prime}  = -M_y^{\prime} +Q_z

Um die Querkraft eleminieren zu können, müssen wir die zweite Gleichung nach dem Ort ableiten:

\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime}  = -M_y^{\prime\prime} +Q_z^{\prime}

Nun ziehen wir das Ergebnis von der ersten Gleichung ab:

\rho A\ddot w-\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime}  = \left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +Q_z^{\prime} +q_z +M_y^{\prime\prime} -Q_z^{\prime}

\Rightarrow \rho A\ddot w = \left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +M_y^{\prime\prime} +\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime} +q_z

Im letzten Schritt setzen wir die Materialgleichung ein:

M_y  = -EI_y w^{\prime\prime}

\rho A\ddot w = -\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} +\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime} +\left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +q_z

(Differentialgleichung der Balkenschwingung)

Sonderfälle

Die DGL enthält mehrere Sonderfälle.

Saitenschwingung

Wir setzen

EI_y  = 0

\rho I_y  = 0

N = S = const

und erhalten die DGL der Saitenschwingung:

Sw^{\prime\prime} +q_z  = \rho A\ddot w

Stabilitätsanalyse von Balken bzw. Stäben

Es gilt:

\rho I_y  = 0

\ddot w = 0

Damit wird aus der vollständigen Gleichung

\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} -\left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime}  = q_z

Bei konstanter Normalkraft N = -F = const folgt daraus:

\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} +Fw^{\prime\prime}  = q_z

Vereinfachung der Balkenschwingung

Meist wird der Balken als frei von Normalkräften angenommen und die rotatorische Trägheit vernachlässigt. aus der vollständigen Formel

-\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} +\left( {\rho I_y \ddot w^{\prime} } \right)^{\prime} +\left( {Nw^{\prime} } \right)^{\prime} +q_z  = \rho A\ddot w

folgt dann für die vereinfachte Balkenschwingung:

-\left( {EI_y w^{\prime\prime} } \right)^{\prime\prime} +q_z  = \rho A\ddot w

bzw bei konstantem E-Modul und Biegesteifigkeit:

-EI_y w^{\prime\prime\prime\prime} +q_z  = \rho A\ddot w