36 – Integration mit Hilfe des Satzes von Fubini

 
  1. Sei

    U: = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x > 0\:und\:y > 0\:und\:x+y < 1} \right\}

    und sei f:\mathbb{R}^2  \to \mathbb{R} definiert durch

    f\left( {x,y} \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    e^{x+y}  & {falls\:\left( {x,y} \right) \in U}  \\    0 & {sonst}  \\   \end{array} } \right.

    Zeigen Sie mit Hilfe von Aufgabe 35: f \in \mathcal{H}^ \uparrow  \left( {\mathbb{R}^n } \right)

  2. Berechnen Sie

    \int_{\mathbb{R}^2 } {f\left( {x,y} \right)d\left( {x,y} \right)}

    mit Hilfe des Satzes von Fubini.

Lösung

a

U definiert hier ein offenes Dreieck als Definitionsbereich für die Funktion f:

U = \left\{ {x > 0\:,\:y > 0\:,\:x+y < 1} \right\}

Draufsicht

Dies ist eine Draufsicht der Funktion, um den Definitionsbereich zu veranschaulichen. Eine räumliche Ansicht der Funktion sähe so aus:

Vollansicht

Weil in U nur < und > vorkommen ist die Menge U offen.

Das bedeutet also:

f\left( {x,y} \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    e^{x+y}  & {falls\:\left( {x,y} \right) \in U}  \\    0 & {sonst}  \\   \end{array} } \right\} \in \mathcal{H}^ \uparrow  \left( {\mathbb{R}^2 } \right)

D.h. f ist eine Funktion aus der Menge (H) der „durch stetige Funktionen monoton von unten approximierbaren Funktionen“.

f lässt sich somit auch schreiben als:

f = \mathcal{X}_u  \cdot e^{x+y}

wobei für die Charakteristische Funktion \mathcal{X}_unichts anderes gilt, als:

\mathcal{X}_u  = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    1\quad innerhalb\:von\:U  \\    {0\quad au{\ss}erhalb\:von\:U}  \\   \end{array} } \right.

Diese Funktion lässt sich durch stetige Funktionen approximieren. Daher gilt:

f = \underbrace {\mathcal{X}_u }_{ \in \mathcal{H}^ \uparrow  } \cdot \underbrace {e^{x+y} }_{stetig\:f\ddot{u}r\: \geq 0}

Nach der Aussage von Aufgabe 35 gilt somit auch

f \in \mathcal{H}^ \uparrow  \left( {\mathbb{R}^n } \right)

b

Mit Hilfe des Satzes von Fubini wird die Integration von Funktionen über mehrdimensionale Gebiete definiert.
Damit können wir mehrdimensionale Integrale auf eindimensionale zurückführen, um sie so zu berechnen:

\int\limits_{\mathbb{R}^2 }^{}  F(t){\text{d}}t = \int\limits_{\mathbb{R}}^{}  \int\limits_{\mathbb{R}}^{}  f(x,y){\text{d}}x{\text{d}}y = \int\limits_{\mathbb{R}}^{} {\int\limits_{\mathbb{R}}^{} f } (x,y){\text{d}}y{\text{d}}x = \int\limits_{\mathbb{R} \times \mathbb{R}}^{}  f(x,y){\text{d}}(x,y)

Das ganze nun noch einmal wesentlich einfacher ausgedrückt anhand folgender Beispiele:

dA = dx\:dy

dV = dx\:dy\:dz

\int_A {dA = \int_y {\int_x {dx\:dy} } }

\int_V {dV = \int_z {\int_y {\int_x {dx\:dy} } } } \:dz

Um nun die in (a) gegebene Funktion zu integrieren schreiben wir also:

\int_{\mathbb{R}^2 } {f\left( {x,y} \right)d\left( {x,y} \right)}

\Rightarrow \int\limits_{\mathbb{R}}^{} {\int\limits_{\mathbb{R}}^{} {f\left( {x,y} \right)dx\:dy} }

Mit Hilfe des ersten Schaubildes legen wir nun die Integrationsgrenzen fest. y lassen wir einfach von 0 bis 1 laufen. Dann müssen wir x jeweils von 0 bis 1-y laufen lassen:

\Rightarrow \int\limits_0^1 {\int\limits_0^{1-y} {e^{x+y} \:dx\:dy} }

= \int\limits_0^1 {\left. {e^{x+y} } \right|_0^{1-y} \:dy}

= \int\limits_0^1 {e^{1-y+y} -e^y \:dy}

= 1 \cdot e-0 \cdot e-\left( {e^1 -e^0 } \right) = 1

Fertig!