5.1 – Massenträgheitstensor eines Kegels

 

Man ermittle für den homogenen Kegel der Masse m die Massenträgheitsmatrix bezüglich des eingeführten Koordinatensystems.

Gegeben:

m, R, H

Lösung

Zuerst berechnen wir das Trägheitsmoment um die x-Achse, da dies am einfachsten ist.

Die Formel lautet:

\Theta _{xx} = \rho \int_V^{} {z^2 +y^2 dV}

Der Abstand von der x-Achse kann einfacher dargestellt werden, als mit dem Pythagoras, nämlich einfach mit dem aktuellen Radius r:

\Theta _{xx} = \rho \int_V^{} {r^2 dV}

Der Radius ist eine lineare Funktion, die vom Ursprung des Koordinatensystems aus mit dem Wert 0 beginnt und bei x = H den Wert R hat. Dies schreiben wir als:

r\left( x \right) = \frac{R} {H}x

Für die Integration benutzen wir Zylinderkoordinaten.

Dabei ist der Einfluss der Jakobideterminante (Faktor r) zu beachten!

\Theta _{xx} = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {\int_0^{2\pi } {r^3 d\varphi drdx} } }

\Theta _{xx} = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {2\pi r^3 drdx} }

\Theta _{xx} = \rho \int_0^H {\frac{1} {2}\pi \frac{{R^4 }} {{H^4 }}x^4 dx}

\Theta _{xx} = \rho \frac{1} {{10}}\pi \frac{{R^4 }} {{H^4 }}H^5 = \frac{1} {{10}}\pi \rho R^4 H

Hier können wir noch die Masse herausziehen. Für die Masse des Kegels gilt:

m = \rho \int_V^{} {dV} = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {\int_0^{2\pi } {rd\varphi drdx} } }

m = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {2\pi rdrdx} }

m = \rho \int_0^H {\pi \frac{{R^2 }} {{H^2 }}x^2 dx}

m = \rho \frac{{\pi R^2 }} {{3H^2 }}H^3 = \frac{1} {3}\rho \pi R^2 H

Wir teilen das Ergebnis für das Trägheitsmoment durch das Ergebnis für die Masse und erhalten:

\Theta _{xx} = \frac{3} {{10}}R^2 m

Von den anderen beiden Hauptträgheitsmomenten müssen wir nur eins berechnen, da sie aufgrund von Symmetrie identisch sind.

Wir berechnen hier das Trägheitsmoment um die z-Achse. Die Formel lautet:

\Theta _{zz} = \rho \int_V^{} {x^2 +y^2 dV}

Das x kann als Abstand von der x-Achse bleiben, für das y müssen wir schreiben:

y = r\sin \varphi

Das wird aus folgender Abbildung ersichtlich:

Eingesetzt:

\Theta _{zz} = \rho \int_V^{} {x^2 +r^2 \sin ^2 \varphi dV}

Wir integrieren erneut in Zylinderkoordinaten und beachten das Ergebnis der Jakobideterminante:

\Theta _{zz} = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {\int_0^{2\pi } {x^2 r+r^3 \sin ^2 \varphi d\varphi drdx} } }

Da sin2 schwer zu integrieren ist, schreiben wir stattdessen:

\Theta _{zz} = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {\int_0^{2\pi } {x^2 r+r^3 \frac{1} {2}\left( {1-\cos \left( {2\varphi } \right)} \right)d\varphi drdx} } }

Integration:

\Theta _{zz} = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {2\pi x^2 r+\left[ {r^3 \frac{1} {2}\left( {\varphi -\frac{1} {2}\sin \left( {2\varphi } \right)} \right)} \right]_0^{2\pi } drdx} }

\Theta _{zz} = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {2\pi x^2 r+r^3 \frac{1} {2}\left( {2\pi -\underbrace {\frac{1} {2}\sin \left( {4\pi } \right)}_0} \right)drdx} }

\Theta _{zz} = \rho \int_0^H {\int_0^{r\left( x \right)} {2\pi x^2 r+\pi r^3 drdx} }

\Theta _{zz} = \rho \int_0^H {\left[ {\pi x^2 r^2 +\frac{\pi } {4}r^4 } \right]_0^{\frac{R} {H}x} dx}

\Theta _{zz} = \rho \int_0^H {\pi x^2 \frac{{R^2 }} {{H^2 }}x^2 +\frac{\pi } {4}\frac{{R^4 }} {{H^4 }}x^4 dx}

\Theta _{zz} = \rho \int_0^H {\pi \frac{{R^2 }} {{H^2 }}x^4 +\frac{\pi } {4}\frac{{R^4 }} {{H^4 }}x^4 dx}

\Theta _{zz} = \frac{\pi } {5}\frac{{R^2 }} {{H^2 }}H^5 +\frac{\pi } {{20}}\frac{{R^4 }} {{H^4 }}H^5

\Theta _{zz} = \frac{1} {5}\pi \rho R^2 H^3 +\frac{1} {{20}}\pi \rho R^4 H

Für die Masse gilt immernoch:

m = \rho \int_V^{} {dV} = \rho \frac{{\pi R^2 }} {{3H^2 }}H^3 = \frac{1} {3}\rho \pi R^2 H

Eingesetzt:

\Theta _{zz} = \frac{1} {5}\pi \rho R^2 H^3 +\frac{1} {{20}}\pi \rho R^4 H = \frac{3} {{20}}\left( {4H^2 +R^2 } \right)m

Die Deviationsmomente sind gleich 0, da die Symmetrieachsen hier den Achsen des Koordinatensystems entsprechen.

Die Matrix ist also:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{3} {{10}}R^2 m & 0 & 0 \\ 0 & \frac{3} {{20}}\left( {4H^2 +R^2 } \right)m & 0 \\ 0 & 0 & \frac{3} {{20}}\left( {4H^2 +R^2 } \right)m \\ \end{array} } \right)

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