5.2 – schräg rotierender Vollzylinder

 

Der skizzierte Vollzylinder sitzt schief auf einer Welle. Man berechne den Massenträgheitstensor bezüglich des mit der Welle mitdrehenden Koordinatensystems.

Gegeben:
Masse m, Radius a, Länge l, Drehwinkel α

Lösung

Wir berechnen zunächst den Trägheitstensor des Hauptachsensystems und transformieren diesen anschließend in das neue Koordinatensystem.

Trägheitstensor im Hautpachsensystem

Es werden also als erstes die Trägheitsmomente bezüglich der Achsen e1^{\prime}, e2^{\prime} und e3^{\prime} gesucht. Aufgrund der Symmetrie des Körpers können wir schon jetz sagen, dass die Massenträgheitsmomente um die e1^{\prime}- und e2^{\prime}-Achse identisch sind.

Trägheitsmoment um die Achse e3^{\prime}

Die Formel lautet:

\Theta _{33}^{\prime}  = \rho \int_V^{} {d_1 ^2 +d_2 ^2 dV}

Dabei ist d1 der Abstand des aktuellen Massepunktes von der Achse 1. Analoges gilt für d2.

Diese Kombination aus den beiden Abständen ist durch den Satz des Pythagoras entstanden. Wir kennen aber bei der Integration in Zylinderkoordinaten auch die dritte Seite des Dreiecks, nämlich den gesuchten Abstand selbst. Dieser entspricht genau dem aktuellen Radius. Wir schreiben daher:

\Theta _{33}^{\prime}  = \rho \int_V^{} {r^2 dV}

In Zylinderkoordinaten mit Beachtung der Jakobideterminante:

\Theta _{33}^{\prime}  = \rho \int_0^l {\int_0^a {\int_0^{2\pi } {r^3 d\phi drdx} } }

\Theta _{33}^{\prime}  = \rho \int_0^l {\int_0^a {2\pi r^3 drdx} }

\Theta _{33}^{\prime}  = \rho \int_0^l {\frac{1} {2}\pi a^4 dx}

\Theta _{33}^{\prime}  = \frac{l} {2}\rho \pi a^4

Wir ziehen die Masse heraus:

m = \rho \int_V^{} {dV}  = \rho \int_0^l {\int_0^a {\int_0^{2\pi } {rd\phi drdx} } }

m = \rho \int_0^l {\int_0^a {2\pi rdrdx} }  = \rho \int_0^l {\pi a^2 dx}  = \rho \pi la^2

\Theta _{33}^{\prime}  = \frac{l} {2}\rho \pi a^4  = \frac{m} {2}a^2

Trägheitsmoment um die Achse e1^{\prime}

Für eine Erläuterung dieser Integration siehe Massenträgheitsmoment: rotierender Kegel.

\Theta _{11}^{\prime}  = \rho \int_{-\frac{l} {2}}^{\frac{l} {2}} {\int_0^a {\int_0^{2\pi } {r^3 \sin ^2 \phi +rx^2 d\phi drdx} } }

\Theta _{11}^{\prime}  = \rho \int_{-\frac{l} {2}}^{\frac{l} {2}} {\int_0^a {\int_0^{2\pi } {r^3 \frac{1} {2}\left( {1-\cos \left( {2\phi } \right)} \right)+rx^2 d\phi drdx} } }

\Theta _{11}^{\prime}  = \rho \int_{-\frac{l} {2}}^{\frac{l} {2}} {\int_0^a {r^3 \frac{1} {2}\left. {\left( {\phi -\frac{1} {2}\sin \left( {2\phi } \right)} \right)} \right|_0^{2\pi } +2\pi rx^2 drdx} }

\Theta _{11}^{\prime}  = \rho \int_{-\frac{l} {2}}^{\frac{l} {2}} {\int_0^a {\pi r^3 +2\pi rx^2 drdx} }

\Theta _{11}^{\prime}  = \rho \int_{-\frac{l} {2}}^{\frac{l} {2}} {\frac{\pi } {4}a^4 +\pi a^2 x^2 dx}

\Theta _{11}^{\prime}  = \rho \left( {\frac{\pi } {4}a^4 l+\frac{\pi } {3}a^2 \frac{l} {4}^3 } \right) = \frac{1} {4}\rho \pi a^4 l+\frac{1} {{12}}\rho \pi a^2 l^3

Wir ziehen wieder die Masse heraus:

m = \rho \pi la^2

\Theta _{11}^{\prime}  = \frac{1} {4}\rho \pi a^4 l+\frac{1} {{12}}\rho \pi a^2 l^3  = \frac{m} {{12}}\left( {3a^2 +l^2 } \right)

Die Matrix lautet demnach:

\Theta ^{\prime} = \frac{m} {{12}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    3a^2 +l^2  & 0 & 0  \\    0 & 3a^2 +l^2  & 0  \\    0 & 0 & 6a^2   \\   \end{array} } \right)

Koordinatentransformation

Wir drücken nun die bisher benutzten Einheitsvektoren der drei Hauptachsen mit Hilfe der drei neuen Einheitsvektoren aus:

\vec e_1 ^{\prime} = \vec e_1 \cos \alpha -\vec e_3 \sin \alpha

\vec e_2 ^{\prime} = \vec e_2

\vec e_3 ^{\prime} = \vec e_1 \sin \alpha +\vec e_3 \cos \alpha

Die Transformationsgleichung zur Koordinatentransformation in das neue Koordinatensystem lautet:

\Theta  = \Theta ^{\prime}_{ij} \vec e_i ^{\prime} \otimes \vec e_j ^{\prime}

In diese mit Hilfe der einsteinsche Summenkonvention dargestellten Summe setzen wir unsere Werte ein. Dabei müssen wir nur die Hauptdiagonale betrachten, da die Deviationsmomente 0 sind:

\Theta  = \Theta ^{\prime}_{11} \vec e_1 ^{\prime} \otimes \vec e_1 ^{\prime}+\Theta ^{\prime}_{22} \vec e_2 ^{\prime} \otimes \vec e_2 ^{\prime}+\Theta ^{\prime}_{33} \vec e_3 ^{\prime} \otimes \vec e_3 ^{\prime}

\Theta  = \Theta ^{\prime}_{11} \left( {\vec e_1 \cos \alpha -\vec e_3 \sin \alpha } \right) \otimes \left( {\vec e_1 \cos \alpha -\vec e_3 \sin \alpha } \right)+\Theta ^{\prime}_{22} \vec e_2  \otimes \vec e_2

+\Theta ^{\prime}_{33} \left( {\vec e_1 \sin \alpha +\vec e_3 \cos \alpha } \right) \otimes \left( {\vec e_1 \sin \alpha +\vec e_3 \cos \alpha } \right)

Wir multiplizieren die Klammern aus. Die dyadischen Produkte werden dabei nicht ausgewertet sondern einfach mitgeschleppt.

\Theta  = \Theta ^{\prime}_{11} \left( {\left( {\cos ^2 \alpha } \right)\vec e_1  \otimes \vec e_1 -\left( {\cos \alpha \sin \alpha } \right)\vec e_1  \otimes \vec e_3 -\left( {\cos \alpha \sin \alpha } \right)\vec e_3  \otimes \vec e_1 +\left( {\sin ^2 \alpha } \right)\vec e_3  \otimes \vec e_3 } \right)

+\Theta ^{\prime}_{22} \vec e_2  \otimes \vec e_2  +\Theta ^{\prime}_{33} \left( {\left( {\sin ^2 \alpha } \right)\vec e_1  \otimes \vec e_1 +\left( {\sin \alpha \cos \alpha } \right)\vec e_1  \otimes \vec e_3 +\left( {\sin \alpha \cos \alpha } \right)\vec e_3  \otimes \vec e_1 +\left( {\cos ^2 \alpha } \right)\vec e_3  \otimes \vec e_3 } \right)

Nun multiplizieren wir noch die Elemente des Trägheitstensors in die Klammern hinein und lösen diese somit auf:

\Theta  = \Theta ^{\prime}_{11} \cos ^2 \alpha \vec e_1  \otimes \vec e_1 -\Theta ^{\prime}_{11} \cos \alpha \sin \alpha \vec e_1  \otimes \vec e_3 -\Theta ^{\prime}_{11} \cos \alpha \sin \alpha \vec e_3  \otimes \vec e_1

+\Theta ^{\prime}_{11} \sin ^2 \alpha \vec e_3  \otimes \vec e_3 +\Theta ^{\prime}_{22} \vec e_2  \otimes \vec e_2  +\Theta ^{\prime}_{33} \sin ^2 \alpha \vec e_1  \otimes \vec e_1

+\Theta ^{\prime}_{33} \sin \alpha \cos \alpha \vec e_1  \otimes \vec e_3 +\Theta ^{\prime}_{33} \sin \alpha \cos \alpha \vec e_3  \otimes \vec e_1 +\Theta ^{\prime}_{33} \cos ^2 \alpha \vec e_3  \otimes \vec e_3

Jetzt können wir nach den dyadischen Produkten sortieren:

\Theta  = \vec e_1  \otimes \vec e_1 \left( {\Theta ^{\prime}_{11} \cos ^2 \alpha +\Theta ^{\prime}_{33} \sin ^2 \alpha } \right)

+\vec e_1  \otimes \vec e_3 \left( {\Theta ^{\prime}_{33} \sin \alpha \cos \alpha -\Theta ^{\prime}_{11} \cos \alpha \sin \alpha } \right)

+\vec e_2  \otimes \vec e_2 \Theta ^{\prime}_{22}

+\vec e_3  \otimes \vec e_1 \left( {\Theta ^{\prime}_{33} \sin \alpha \cos \alpha -\Theta ^{\prime}_{11} \cos \alpha \sin \alpha } \right)

+\vec e_3  \otimes \vec e_3 \left( {\Theta ^{\prime}_{11} \sin ^2 \alpha +\Theta ^{\prime}_{33} \cos ^2 \alpha } \right)

Da die dyadischen Produkte genau den Koordinatenangaben des Tensors entsprechen, schreiben wir die fertige Matrix einfach aus der letzten Berechnung:

\Theta  = \frac{m} {{12}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    \left( {3a^2 +l^2 } \right)\cos ^2 \alpha +6a^2 \sin ^2 \alpha  & 0 & \left( {6a^2 -3a^2 -l^2 } \right)\sin \alpha \cos \alpha   \\    0 & 3a^2 +l^2  & 0  \\    \left( {6a^2 -3a^2 -l^2 } \right)\sin \alpha \cos \alpha  & 0 & \left( {3a^2 +l^2 } \right)\sin ^2 \alpha +6a^2 \cos ^2 \alpha   \\   \end{array} } \right)

Die Matrix kann mit Hilfe diverser Additionstheoreme noch ein wenig vereinfacht werden, worauf hier aber verzichtet wurde.