05.6 – Präzession bei Mühlrädern (Kollargang)

 

Zwei scheibenförmige Mühlräder (Radius r = 0,5 m, Masse M) werden durch eine senkrecht auf der Verbindungsachse stehende Antriebswelle A auf einer Kreisbahn (Radius R = 1.5 m) geführt. Die Mühlräder rotieren mit der Winkelgeschwindigkeit \omega um A.
Wie groß muss \omega sein, damit die Kraft, die jedes Mühlrad auf den Boden ausübt, gerade doppelt so groß ist, wie das eigene Gewicht?

prazession-muhlrader-kollergang-berechnung

Lösung

Zur Vereinfachung werden wir im Folgenden nur ein Mühlrad betrachten.

Die Kraft, die so ein Mühlstein auf den Boden ausübt, wenn er rollt, setzt sich aus zwei verschiedenen Kräften zusammen:

  • Seine eigene Gewichtskraft: F_G = m \cdot g
  • Durch Präzessionsbewegung auftretende Kraft

Die Präzessionskraft resultiert aus der ständigen Richtungsänderung des Mühlsteines.

Vom Kreisel her ist bekannt, dass zur Drehimpulsachse senkrechte Momente die Richtung des Drehimpulses ändern. Dies wird als Präzession bezeichnet.

Umgekehrt kann man aber auch durch eine erzwungene Richtungsänderung des Drehimpulses ein zusätzliches Moment erzeugen, welches senkrecht auf der Drehimpulsachse und der Achse, um die diese gedreht wird, steht.

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Das ganze Phänomen wird auch beim so genannten Kollergang genutzt. Ein veranschaulichendes Video kann man finden auf der Webseite der Uni Göttingen

Zunächst stellen wir die Beziehung zwischen den beiden vorhandenen Winkelgeschwindigkeiten her. Die Rotation der Mühlräder um ihre eigene Achse im Verhältnis zur Rotation um den Punkt A:

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\omega _p \cdot R = s = \omega _R \cdot r

\Rightarrow \omega _R = \omega _p \frac{R} {r}

Für die Präzessionsfrequenz gilt:

\omega _P = \frac{M} {L} = \frac{{R \cdot F}} {L}

L: Drehimpuls

Herleitung

Für sehr kleine Winkel gilt:

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\sin \left( {d\Theta } \right) \approx d\Theta \approx \frac{{dL}} {L}\quad | \cdot \frac{1} {{dt}}

\frac{{d\Theta }} {{dt}} = \frac{1} {L}\frac{{dL}} {{dt}} = \frac{1} {L}M

\omega _p = \frac{M} {L}

Für das Moment gilt:

\vec M = \vec R \times \vec F

Da R und F senkrecht zueinander sind, vereinfacht sich die Gleichung zu:

M = R F

Für den Drehimpuls gilt:

\vec L = J_R \vec \varpi _R = \frac{1} {2}m_R r^2 \omega _R

Eingesetzt wird daraus nun:

\omega _p = \frac{M} {L} = \frac{{RF}} {{\frac{1} {2}m_R r^2 \omega _R }} = \frac{{RF}} {{\frac{1} {2}m_R r^2 \omega _p }}\frac{r} {R} = \frac{{2F}} {{m_R r\omega _p }}

\omega _p ^2 = \frac{{2F}} {{m_R r}}

Nun muss nur noch F bestimmt werden. Laut Aufgabenstellung soll die resultierende Gesamtkraft, mit der das Rad auf den Boden drückt, doppelt so groß sein wie die eigene Gewichtskraft, also ist F=mg.

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Daraus folgt nun:

\omega _p ^2 = \frac{{2m_R g}} {{m_R r}} = \frac{{2g}} {r}

\omega _p = \sqrt {\frac{{2g}} {r}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 9,81\frac{m} {{s^2 }}}} {{0,5m}}} = 6,264\frac{1} {s}

Das entspräche übrigens einer Frequenz von:

f = \frac{\omega } {{2\pi }} \approx 1Hz

Fertig!

Zusatz

Einen ähnlichen Effekt stellt man auch beim so genannten Gyrotwister fest, einem Spielzeug bzw. Trainingsgerät, bei dem die Präzession zur Aufrechterhaltung seiner Drehbewegung genutzt wird.

gyrotwister-prazession