07.4 – Temperaturdehnung eines Bolzen

Ein zylindrischer Bolzen der Länge $l+\Delta l$ wird zwischen zwei starren Wänden eingepasst, indem er mit flüssiger Luft abgekühlt wird.

Bolzen

Man berechne:
1. Die Temperatur, auf die der Bolzen mindesten abgekühlt werden muss, und
2. die Kraft, mit der der Bolzen bei Raumtemperatur auf die Wand drückt.
Gegeben:

$l = 100\:mm = 0,1\:m$

$\Delta l = 100\:\mu m = 100 \cdot 10^{-6} m$

$\Theta _0 = 293\:K$

$E = 206000\:\frac{N} {{mm^2 }}$

$\alpha _\Theta = 12,2 \cdot 10^{-6} \:\frac{1} {K}$

$A = 500\:mm^2 = 0,0005\:m^2$

Lösung 1

Damit der Bolzen in die Wand hineinpasst, muss sich seine Länge um Δl verändern. Genauer gesagt um – Δl, denn der Bolzen muss ja kürzer werden.

Wir wissen, dass ɛ die Dehnung angibt und zwar die Dehnung pro Längeneinheit.

Heißt: $\varepsilon l_0 = \Delta l\quad \Rightarrow \quad \varepsilon = \frac{{\Delta l}} {{l_0 }}$

$l_0$ ist hier die Ausgangslänge.

Für unseren Fall also: $\varepsilon = \frac{{-\Delta l}} {{l+\Delta l}}$

Die Dehnung, die eine Temperaturänderung bewirkt ist definiert als:
$\varepsilon = \alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)$

Daraus ergibt sich schließlich:

$\frac{{-\Delta l}} {{l+\Delta l}} = \alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)$

$\frac{{-\Delta l}} {{\left( {l+\Delta l} \right)\alpha _\Theta }}+\Theta _0 = \Theta$

$\Theta = -\frac{{0,1mm}} {{100,1mm \cdot 12,2 \cdot 10^{-6} \frac{1} {K}}}+293K \approx 211,1146722K \approx 211K$

Lösung 2

Berechnung der Kraft, mit welcher der Bolzen letztendlich bei Raumtemperatur gegen die Wand drückt:

Die Differentialgleichung für die Verschiebungsverteilung lautet:
$N ^{\prime}\left( x \right) = \left[ {EA\left( {u ^{\prime}\left( x \right)-\alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)} \right)} \right]^\prime = -n\left( x \right)$

u’(x) ist in diesem Falle = 0 , da der Bolzen lediglich einer Temperaturdehnung und keiner mechanischen Dehnung unterliegt!
Somit ist –n(x) ebenfalls = 0 , was auch einleuchtet, da keine Streckenlasten (z.B. durch das Eigengewicht des Stabes) vorhanden sind!

N(x) ist die gesuchte Normalkraft, mit der der Bolzen gegen die Wand drücken wird.

Somit erhält man:

$N ^{\prime}\left( x \right) = \left[ {EA\alpha _\Theta \left( {\Theta -\Theta _0 } \right)} \right]^\prime = 0$