07 – Konvergenz der geometrischen Reihe auf (-1, 1)

 

Die geometrische Reihe

\sum\nolimits_n {x^n }

konvergiert auf ]-1,1[ bekanntlich punktweise gegen 1/(1-x). Zeigen Sie, dass diese Konvergenz nicht gleichmäßig ist.

Lösung

Punktweise Konvergenz:

Für festes x_0  \in \mathbb{D} gilt:

\forall \:\varepsilon  > 0\:\exists \:n_0 :\left| {f_n \left( {x_0 } \right)-f \left( {x_0 } \right) < \varepsilon \quad \forall n \geq n_0 } \right|

Gleichmäßige Konvergenz:

Sei \mathbb{D} \subseteq \mathbb{R}. Eine Folge \left( {f_n } \right)_{n \in \mathbb{N}_0 } von Funktionen f_n :\mathbb{D} \to \mathbb{R} konvergiert gleichmäßig gegen eine Funktion f:\mathbb{D} \to \mathbb{R}, wenn es zu jedem \varepsilon  > 0 ein n_0  \in \mathbb{N} gibt, so dass für alle n > n_0 und alle x \in \mathbb{D} gilt:

\left| {f\left( x \right)-f_n \left( x \right)} \right| < \varepsilon

Mit

f_n \left( x \right) = \sum\limits_{k = 0}^n {x^k }

müsste demnach gelten:

Für alle \varepsilon  > 0 gibt es ein n_0  \in \mathbb{N}, so dass für alle n > n_0 und alle x \in \left( {-1,1} \right) gilt:

\left| {\sum\limits_{k = 0}^\infty  {x^k } -\sum\limits_{k = 0}^{n_0 } {x^k } } \right| = \left| {\sum\limits_{k = n_0 +1}^\infty  {x^k } } \right| = \left| {\frac{1} {{1-x}}-\frac{{1-x^{n_0 +1} }} {{1-x}}} \right| = \frac{{\left| x \right|^{n_0 +1} }} {{\left| {1-x} \right|}} < \varepsilon

Es gilt aber:

\lim \limits_{x \to 1} \frac{{\left| x \right|^{n_0 +1} }} {{\left| {1-x} \right|}} = \infty

Somit gibt es ein x \in \left( {-1,1} \right) mit

\frac{{\left| x \right|^{n_0 +1} }} {{\left| {1-x} \right|}} \geq \varepsilon

zu jedem beliebigen \varepsilon  > 0. Die geometrische Reihe konvergiert daher nicht gleichmäßig auf (-1, 1).

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