8. Koordinatensysteme und Transformation

 

Die Koordinaten eines Punktes auf einer Ebene oder im Raum können mit verschiedenen Koordinatensystemen dargestellt werden.

Das kartesische Koordinatensystem

Das am weitesten verbreitete Koordinatensystem ist das kartesische Koordinatensystem. Hier werden Punkte als Kombination aus einer X-Koordinate in die eine Richtung und einer Y-Koordinate senkrecht dazu dargestellt. Im Raum kommt eine dritte Koordinate, die auf den beiden anderen Achsen senkrecht steht, dazu.

Möchte man in diesem Koordinatensystem eine (infinitesimal kleine) Fläche berechnen, so tut man das mit der Formel dA = dxdy:

Polarkoordinaten

Ein anderes System, Koordinaten darzustellen, ist das Polarkoordinatensystem. Hier wird ein Punkt auf der Fläche durch seinen Abstand zum Ursprung und den Winkel, auf dem dieser Radius (r oder Rho) liegt, definiert:

0<ρ, 0<φ<2π

Die beiden Koordinatensysteme können ineinander umgewandelt werden mit folgender Transformation:

x = \rho \cdot \cos \phi

y = \rho \cdot \sin \phi

Hier noch ein mal zur Verdeutlichung der Vorteile von Polarkoordinaten: Die blaue Fläche soll berechnet werden:

Hierfür wäre eine Integration der Funktion über x notwendig. Nun wird die selbe Fläche im Polarkoordinatensystem dargestellt:

Diese ist nun viel einfache zu berechnen, da es sich um ein simples Rechteck handelt.

Die dritte Dimension

Im kartesischen Koordinatensystem wird die dritte Dimension durch eine dritte Achse dargestellt:

Nun soll ein Rauminhalt berechnet werden. Dies geschieht mit der Formel dxdydz:


Zylinderkoordinaten

Schwierig wird es, wenn in diesem Koordinatensystem ein zylindrischer Rauminhalt berechnet werden soll. Hierfür benutzt man das an den dreidimensionalen Raum angepasste Polarkoordinatensystem. Es wird einfach eine Variable für die Höhe eingeführt, Abstand und Winkel bleiben gleich:

Transformation:

x = \rho \cdot \cos \phi

y = \rho \cdot \sin \phi

z = z ^{\prime}

dV = \rho  \cdot d\phi  \cdot d\rho  \cdot dz

Noch komplizierter wird es, wenn der zu berechnende Raum nicht zylindrisch sondern kugelförmig (oder Teil einer Kugel) ist. Hierfür gibt es noch ein neues Koordinatensystem.

Kugelkoordinaten

Hier wird statt der Höhe noch ein dritter Winkel eingeführt, um einen Punkt im Raum zu beschreiben. Dadurch wird es einfacher, kugelförmige Gebilde zu berechnen, da man nicht von einer Höhe abhängng ist.

Transformation in Kugelkoordinaten:

x = r \cdot \sin \vartheta  \cdot \cos \phi

y = r \cdot \sin \vartheta  \cdot \sin \phi

z = r \cdot \cos \vartheta

dV = r \cdot \sin \vartheta  \cdot d\phi  \cdot r \cdot d\vartheta  \cdot dr = r^2 \sin \vartheta  \cdot dr \cdot d\phi  \cdot d\vartheta

2. Funktionen zweier Variablen

Beispiel: Funktion für den Druck:

p = p\left( {V,T} \right)

Die Funktion wird nur in einem bestimmten Gebiet definiert:


Die Gesamtheit der Punkte, die auf der Funktion über dem definierten Gebiet liegen, bilden die Oberfläche der Funktion:

Linien, die den gleichen Funktionswert in x-Richtung haben, können auf dem Gebiet als ISO-Linien dargestellt werden. Sie entsprechen den Höhenlinien auf einer Landkarte:

Änderung von Funktionen zweier Variablen

\Delta f \approx df = \frac{{df}} {{dx}}

Es entsteht ein vernachlässigbar kleiner Fehler, der kleiner wird, je kleiner Delta X wird.

Die gesamte Änderung der Funktion ist die Änderung in x-Richtung+die Änderung in y-Richtung.

\Delta f \approx df = \left( {\frac{{\partial f}} {{\partial x}}} \right)_{y_0 } dx+\left( {\frac{{\partial f}} {{\partial x}}} \right)_{x_0 } dy

Abgekürzte Schreibweisen:

\left( {\frac{{\partial f}} {{\partial x}}} \right)_{y_0 } dx+\left( {\frac{{\partial f}} {{\partial x}}} \right)_{x_0 } dy = \partial _x f \cdot dx+\partial _y f \cdot dy = f_x dx+f_y dy

Die Verschiebungen dx und dy können Zusammengefasst und in einen Verschiebungsvektor geschrieben werden:

\partial _x f \cdot dx+\partial _y f \cdot dy = \left( {\partial _x f,\partial _y f} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} dx  \\ dy  \\ \end{array} } \right)

Der erste Vektor kann noch zusammengefasst werden zum Nabla-Operator, oder zum Gradient von f:

\nabla f = \operatorname{grad}(f) = \frac{\partial f}{\partial x_1} e_1+\cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} e_n  = \begin{pmatrix} \frac{\partial f}{\partial x_1} \\ \vdots \\ \frac{\partial f}{\partial x_n} \end{pmatrix}

Beispiel:

z = xy^2

\partial _x z = y^2

\partial _y z = 2xy

\partial _x \left( {\partial _x z} \right) = 0

\partial _y \left( {\partial _x z} \right) = 2y

\partial _x \left( {\partial _y z} \right) = 2y

\partial _y \left( {\partial _y z} \right) = 2x

Wenn die Funktion stetig und differenzierbar sind, dann sind die gemischten partiellen Ableitungen gleich.

Die Annäherung der Funktion durch eine Gerade im Bereich des Punktes entspricht im dreidimensionalen Raum der Annäherung der Funktion durch eine Ebene an dem Punkt.

Integration von Funktionen zweier Variablen

\int\limits_{[a,b]} {f\left( x \right)dx}  = \sum\limits_i {f\left( {x_1 } \right)\Delta x_1 }

Dreidimensional:



\int {f\left( {x,y} \right)dxdy}  = \sum\limits_i {\sum\limits_j {f\left( {x_i ,y_j } \right)\Delta x_i \Delta y_j } }

Berechnung des Volumens:

A\left( y \right) = \int\limits_a^b {f\left( {x,y} \right)dx}

V = \int\limits_c^d {A\left( y \right)dy}  = \int\limits_c^d {\int\limits_a^b {f\left( {x,y} \right)dxdy} }

Variablensubstitution:

\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \int\limits_{u\left( a \right)}^{u\left( b \right)} {f\left( {x\left( u \right)} \right)\left( {\frac{{dx}} {{du}}} \right)dx}

Bei 2 Variablen:

\int {\int\limits_G {f\left( {x,y} \right)} dxdy}  = \int {\int\limits_{T\left( G \right)} {f\left( {x\left( {u,v} \right),y\left( {u,v} \right)} \right) \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \partial _u x & \partial _v x  \\ \partial _u y & \partial _v y  \\ \end{array} } \right|} } dudv

Der Betrag der Matrix

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \partial _u x & \partial _v x  \\ \partial _u y & \partial _v y  \\ \end{array} } \right)

wird aus Jakobideterminante bezeichnet. Es gilt:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} \partial _u x & \partial _v x  \\ \partial _u y & \partial _v y  \\  \end{array} } \right| = \left| {\frac{{\partial \left( {x,y} \right)}} {{\partial \left( {u,v} \right)}}} \right|

Beispiel:

Es soll das Volumen eines Kugelausschnittes berechnet werden, der 1/8 einer Kugel beträgt, also der Teil einer Kugel, der in einem der 8 dreidimensionalen Quadranten liegt:

\int\limits_G {\int {\sqrt {R^2 -\left( {x^2 +y^2 } \right)} } }  = \int\limits_\Lambda  {\int {\sqrt {R^2 -\left( {x^2 \left( {r,\phi } \right)+y^2 \left( {r,\phi } \right)} \right)} } }  \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{\partial x}}{{\partial r}} & \frac{{\partial x}}{{\partial \phi }}  \\ \frac{{\partial y}}{{\partial r}} & \frac{{\partial y}}{{\partial \phi }}  \\ \end{array} } \right|drd\phi

= \int\limits_0^{\frac{\pi } {2}} {d\phi \int\limits_0^R {dr \cdot r \cdot \sqrt {R^2 -r^2 } }  = \left. \phi  \right|_0^{\frac{\pi } {2}} }  \cdot \left. {\frac{{\left( {R^2 -r^2 } \right)^{\frac{3} {2}} }} {3}} \right|_0^R  = \frac{\pi } {2} \cdot \frac{{R^3 }} {3} = \frac{{\pi R^3 }} {6}

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1 Kommentar zu “8. Koordinatensysteme und Transformation”

Hallo,

danke für die übersichtliche Seite! Die bebilderten Erklärungen haben mir sehr geholfen.

Ich habe im Abschnitt “Änderung von Funktionen zweier Variablen” einen Fehler gefunden. In der unteren Gleichung muss die zweite partielle Ableitung nach y statt nach x sein:

\Delta f \approx df = \left( {\frac{{\partial f}} {{\partial x}}} \right)_{y_0 } dx+\left( {\frac{{\partial f}} {{\partial y}}} \right)_{x_0 } dy

Lieben Gruß
Elisabeth

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