8.3 – Pendel stößt gegen Feder

 

Ein Stab der Masse m und der Länge L, an dessen Ende die punktförmige Masse M befestigt ist, dreht sich infolge der Schwerkraft um den Punkt A aus der waagerechten in die senkrechte, in der die Masse M auf eine Feder mit der Federkonstante c trifft.
Wie weit wird die Feder zusammengedrückt, wenn sie zum Zeitpunkt des Auftreffens der Masse entspannt ist?
Wie groß ist die Auftreffgeschwindigkeit der Masse M?

Gegeben:
m = 0,3 M
M = 1 kg
L = 1m
g = 9,81 m/s²
c = 2•105 N/m

Pendel stößt gegen Feder

Lösung

Berechnen wir zunächst die Auftreffgeschwindigkeit der Masse M:

Am Anfang besitzt das System nur potentielle Energie, welche bei Bewegung des Systems in potentielle, kinetische und Rotations-Energie übergeht. Daher gilt nach dem Energieerhaltungssatz:

E_{pot_1 }  = E_{kin} +E_{pot_2 } +E_{rot}

Für die einzelnen Energien gilt dabei:

Die anfängliche potentielle Energie setzt sich zusammen aus der potentielle Energie von Stab und punktförmiger Masse:

E_{pot}  = m \cdot g \cdot h

E_{pot_1 }  = \left( {M+m} \right)gL = MgL+mgL

Bei der kinetischen Energie muss jeweils die Geschwindigkeit des Schwerpunktes betrachtet werden:

E_{kin}  = \frac{1}{2}Mv_k^2 +\frac{1}{2}mv_s^2

Geschwindigkeiten im System

Für die potentiellen Energie im vertikalen Zustand gilt:

E_{pot_2 }  = mg\frac{L}{2}

denn auch hier gilt: Es wird immer der Schwerpunkt eines Objektes betrachtet. Der Schwerpunkt der punktförmigen Masse befindet sich ganz unten bei Höhe 0, daher fällt dieser Anteil weg. Der Schwerpunkt des Stabes dagegen befindet sich bei Höhe L/2.

Und schließlich gilt noch für die Rotationsenergie des Stabes:

E_{rot}  = \frac{1}{2}J \omega ^2

J  = \frac{1}{{12}}mL^2

\omega  = \frac{v}{r} = \frac{{v_s }}{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}}\quad  \Rightarrow \quad \omega ^2  = \frac{{v_s^2 }}{{\left( {\frac{L}{2}} \right)^2 }}

E_{rot}  = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{12}}mL^2  \cdot \frac{{v_s^2 }}{{\left( {\frac{L}{2}} \right)^2 }} = \frac{4}{{24}}mv_s^2

Es wird nur die Rotation um den Schwerpunkt betrachtet. Die Herleitung des Trägheitsmomentes für einen Stab ist nachlesbar im Artikel über Trägheitsmomente

Bei der Kugel muss man sich entscheiden, ob man eine um den Schwerpunkt rotierende, oder eine sich nur translativ bewegende punktförmige Masse annehmen will. Im ersten Fall gibt es keine Rotationsenergie, im zweiten keine kinetische Energie. Wir haben uns hier für den ersten Fall entschieden.

Eingesetzt erhalten wir nun also die Beziehung:

MgL+mgL = \frac{1}{2}Mv_k^2 +\frac{1}{2}mv_s^2 +mg\frac{l}{2}+\frac{4}{{24}}mv_s^2

Die Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeiten, die uns nun noch fehlt, lässt sich herleiten durch:

v_s  = \omega _2  \cdot \frac{L}{2}\quad  \Rightarrow \quad \omega _2  = \frac{{2v_s }}{L}

v_k  = \omega _2  \cdot L\quad  \Rightarrow \quad \omega _2  = \frac{{v_k }}{L}

\Rightarrow \frac{{2v_s }}{L} = \frac{{v_k }}{L}

\Rightarrow \underline{\underline {v_s  = \frac{{v_k }}{2}}}

Geschwindigkeitsbeziehungen

Einsetzen und Umstellen nach v ergibt dann:

MgL+\frac{m}{2}gL = \frac{1}{2}Mv_k^2 +\frac{1}{2}m\frac{{v_k^2 }}{4}+\frac{4}{{24}}m\frac{{v_k^2 }}{4}\quad | \cdot 2

2\left( {M+\frac{m}{2}} \right)gL = Mv_k^2 +\frac{1}{2}mv_k^2 +\frac{1}{{12}}mv_k^2

\left( {2M+m} \right)gL = \left( {M+\frac{1}{4}m+\frac{1}{{12}}m} \right)v_k^2

\underline{\underline {\sqrt {\frac{{\left( {2M+m} \right)gL}}{{\left( {M+\frac{1}{3}m} \right)}}}  = v_k }}

\sqrt {\frac{{\left( {2 \cdot 1kg+0,3kg} \right) \cdot 9,81\frac{m}{{s^2 }} \cdot 1m}}{{\left( {1kg+\frac{1}{3} \cdot 0,3kg} \right)}}}  = 4,528997481\frac{m}{s} \approx \underline{\underline {4,529\frac{m}{s} = v_k }}

Somit haben wir die gesuchte Auftreffgeschwindigkeit.

Als nächstes berechnen wir die Strecke, um die die Feder zusammengedrückt wird. Dazu schauen wir uns noch einmal die Zeichnung an:

Pendel stößt gegen Feder

Wie wir schon festgestellt haben, besitzt das System zu Anfang nur seine potentielle Energie. Wenn das System aus Stab und punktförmiger Masse nun die Feder zusammengedrückt hat, ruht dieses. D.h. es hat seine gesamte Energie in die Verformung der Feder gesteckt. Das heißt also im Endeffekt für die Energieerhaltung:

E_{pot_1 } - E_{pot_2 } = E_{Feder}

\left(MgL+mgL\right) - mg\frac{L}{2} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot s^2

MgL+mg\frac{L}{2} = \frac{1}{2} \cdot c \cdot s^2

\Rightarrow \underline{\underline {\sqrt {\frac{{\left( {2M+m} \right)gL}}{c}}  = s}}

\sqrt {\frac{{\left( {2 \cdot 1kg+0,3kg} \right) \cdot 9,81\frac{m}{{s^2 }} \cdot 1m}}{{2 \cdot 10^5 \frac{N}{m}}}}  = 0,010621441m \approx \underline{\underline {1,062cm = s}}

Fertig!

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6 Kommentare zu “8.3 – Pendel stößt gegen Feder”

Hallo,
ich möchte gerne anmerken, dass punktförmige Massen doch auch ein Trägheitmom. bestitzen oder ?
–> J = m * r

Ich bin gerade erst auf eure Seite gestoßen und finde sie jetzt schon klasse!
tolles übersichtliches layout, fabelhafte erklärungen und das auch noch kostenfrei… wirklich toll!
Vielen Dank & mfg, Robert

Schön dass dir die Seite gefällt :)
Zu deiner Frage: Es kommt darauf an, wie man das System modelliert. Hier wurde angenommen, dass sich die Masse nur translativ bewegt, nicht aber rotiert. Das mag abwegig klingen, da sie sich ja auf einer Kreisbahn bewegt.
Aber nehmen wir mal an, das Pendel führt eine Rotation aus. Diese würde dann um den Aufhängepunkt erfolgen, es gäbe keine zusätzliche translative Bewegung. Das Trägheitsmoment der punktförmigen Masse wäre:

    \[J=mr^2\]

Die Rotationsenergie:

    \[E_{rot}=\frac{1}{2}J\omega^2=\frac{1}{2}mr^2\omega^2\]

Der Radius ist senkrecht zum Vektor der Winkelgeschwindigkeit. Daraus folgt:

    \[r\omega=v\quad\Rightarrow\quad r^2\omega^2=v^2\quad\Rightarrow\quad E_{rot}=\frac{1}{2}mv^2\]

Dies entspricht aber genau der kinetischen Energie, die wir in der Rechnung mit dem System benutzt haben, das sich nur bewegt und nicht dreht. Es sind also beide Betrachtungen äquivalent.
// Edit: Diese Tatsache war allerdings wie ich eben bemerkt habe im Artikel nicht richtig dargestellt. Ich habe das korrigiert, danke für den Hinweis.

Ich verstehe nicht warum die potenzielle Energie am Anfang (m+M)g*L ist, am Ende in der letzten teilaufgabe jedoch mit MgL + mg(L/2) gerechnet wird.. Könnte mir da bitte jemand weiter helfen?:)

Hallo Tino!
Da hat sich tatsächlich ein Fehler in die erste Zeile der Formel eingeschlichen. Hab’s korrigiert.
Die Energie, welche der Feder zugeführt wird entspricht somit im Endeffekt der abgebauten potentiellen Energie des Systems.
Ich hoffe nach der Korrektur ist es verständlicher.
Ansonsten einfach nochmal nachfragen, wir helfen gerne :) .

Sorry.. Jetzt eher unverständlicher :D . Nach der Beziehung zwischen den beiden Geschwindigkeiten wird die Masse m auf der linken Seite der Gleichung auf einmal zu m/2 ? Des weiteren verstehe ich nicht, dass die potenzielle Energie ganz am Anfang (in der dritten Gleichung), (M+m) *gh ist und am Ende( bei der Berechnung des Federwegs) , MgL + mg L/2. Müsste es nicht bei E pot1 auch schon mgL/2 sein oder betrachtet man hier nochnicht den abstand vom Schwerpunkt? (Wie bei der Aufgabe “Rad an einem Pendel rollt auf einer Kreisbahn”) oder liegt das hier daran, dass hier die horizontale Lage auch gleichzeitig die Ruhelage ist?

Sorry so viel Fragen…ich hoffe man versteht was ich mein. Vielen Dank schonmal im Voraus!

Wo halbiert sich denn die Masse bei den Geschwindigkeiten?
E_{pot_1 } ergibt sich daraus, dass sich in der waagerechten Position beide Massen auf der Höhe L befinden.
Bei E_{pot_2 } befindet sich M in der vertikalen Position auf Höhe 0, weshalb dieser Anteil wegfällt. m befindet sich dabei auf Höhe \frac{L}{2}.
Die Differenz dieser beiden Energien (also die “abgebaute” potentielle Energie) ist nun für das Zusammendrücken der Feder verantwortlich. Deshalb E_{pot_1 } - E_{pot_2 } = E_{Feder}.

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