8.4 – Rad an einem Pendel Rollt auf einer Kreisbahn

Ein Pendel besteht aus einer Stange der Länge 6 r und der Masse m sowie zwei Scheiben (Masse 4 m, Radius 2 r), eine fest, eine drehbar. Die drehbare rollt mit dem Radius r auf einer Kreisbahn (Radius 6 r) ab. Das Pendel rollt aus der horizontalen Ruhelage ab.
Welche Winkelgeschwindigkeit hat es in der vertikalen Lage?

Gegeben:

m , r , ΘScheibe = 1/2 M R² , g = 9,81 m/s²

Skizze

Lösung

(Als Index verwende ich im Folgenden l, r und s für Scheibe links, Scheibe rechts und Stab.)

Diese Aufgabe lässt sich komplett über den Energieerhaltungssatz Lösen. Wie bei der vorangehenden Aufgabe können wir auch hier wieder feststellen, dass das „Pendel“ in seiner Ausgangslage nur potentielle Energie besitzt, die in der vertikalen Lage in kinetische Energie und Rotationsenergie übergeht.

$E_{pot} = E_{kin} +E_{rot}$

Die potentiellen Energien (im Vergleich zum vertikalen Zustand) lassen sich an folgender Zeichnung ablesen

Pendel vertikal

Dabei bezieht sich die potentielle Energie immer auf den Schwerpunkt des jeweiligen Teilobjektes. Da der Stab 6r lang ist und der Stab bei r aufgehängt ist befindet sich sein Schwerpunkt also im Abstand 2r von der Aufhängung.

Für die potentielle Energie erhalten wir also:

$E_{pot} = 4m \cdot g \cdot 5r+m \cdot g \cdot 2r-4m \cdot g \cdot 3r = 10mgr$

Die dritte Komponente ist negativ, da hier keine Energie frei wird, sondern welche verbraucht wird, um die Masse der Scheibe anzuheben.

Für die Kinetische Energie (auch wieder im Bezug auf die Schwerpunkte) gilt:

$E_{kin} = \frac{1} {2} \cdot 4m \cdot v_l^2 +\frac{1} {2} \cdot m \cdot v_s^2 +\frac{1} {2} \cdot 4m \cdot v_r^2$

Die Geschwindigkeiten lassen sich auch durch den Winkel φ bzw. die Winkelgeschwindigkeit der Drehbewegung (die wir ja suchen) ausdrücken:

$\dot \varphi = \omega$

$v_l = \omega \cdot 5r$

$v_s = \omega \cdot 2r$

$v_r = \omega \cdot 3r$

$\Rightarrow E_{kin} = \frac{1} {2} \cdot 4m \cdot \left( {\omega \cdot 5r} \right)^2 +\frac{1} {2} \cdot m \cdot \left( {\omega \cdot 2r} \right)^2 +\frac{1} {2} \cdot 4m \cdot \left( {\omega \cdot 3r} \right)^2$

$\Rightarrow E_{kin} = 50m\omega ^2 r^2 +2m\omega ^2 r^2 +18m\omega r^2$

$\Rightarrow E_{kin} = 70m\omega ^2 r^2$

Für die Rotationsenergien (auch wieder Rotation um den jeweiligen Schwerpunkt betrachtet) ergibt sich:

$E_{rot} = \frac{1} {2} \cdot \theta _l \cdot \omega _2^2 +\frac{1} {2} \cdot \theta _s \cdot \omega ^2 +\frac{1} {2} \cdot \theta _r \cdot \omega ^2$

Eingesetzt werden nun zweimal das Trägheitsmoment eines Zylinders und einmal das Trägheitsmoment für einen Stab. Für die Herleitung der Trägheitsmomente siehe hier.

$E_{rot} = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {2}4m\left( {2r} \right)^2 \cdot \omega _2^2 +\frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{12}}m\left( {6r} \right)^2 \cdot \omega +\frac{1} {2} \cdot \frac{1} {2}4m\left( {2r} \right)^2 \cdot \omega$

Hier ist das ω2 der linken Scheibe zu beachten. Das wird anhand folgender Zeichnung deutlich:

Winkel

Die Rechte Scheibe und der Stab rotieren beide mit der Geschwindigkeit ω. Die Geschwindigkeit der linken Scheibe lässt sich über folgenden Zusammenhang herstellen:

Rollendes Rad

Wir führen einen neuen Winkel ψ ein und drehen das System um φ. Dann gilt für den „abgerollten Weg“:

$I:\quad s = \varphi \cdot 6r$

$II:\quad s = \psi \cdot r+\varphi \cdot r$

$\Rightarrow \varphi 6r = \psi r+\varphi r$

$\Rightarrow 5\varphi = \psi$

$\Rightarrow 5\dot \varphi = \dot \psi$

$\Rightarrow 5\omega = \omega _2$

Eingesetzt erhalten wir:

$E_{rot} = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {2}4m\left( {2r} \right)^2 \cdot \left( {5\omega } \right)^2 +\frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{12}}m\left( {6r} \right)^2 \cdot \omega ^2 +\frac{1} {2} \cdot \frac{1} {2}4m\left( {2r} \right)^2 \cdot \omega ^2$