A 03 – Kühlung mit Nadelrippe

 

Eine Nadel hat einen konstanten Durchmesser d und eine Länge L (siehe Abbildung). Der Fuß der Nadel hat eine konstante Temperatur {T_W}. Die Spitze der Nadel steht in Kontakt mit einem anderen Bauteil, welches eine konstante Temperatur von {T_S} aufweist. Zusätzlich wird die Nadel von Luft der Geschwindigkeit u und der Temperatur {T_U} = {T_S} umströmt. Ein sich daraus ergebender Wärmeübergangskoeffizient h ist bekannt. Die Wärmeleitfähigkeit der Nadel ist eine Funktion der Nadellänge k = k\left( x \right).

nadelrippe

Annahmen:

  • Der Wärmeübergangskoeffizient ist über die Nadelhöhe konstant.
  • In radialer Richtung bilden sich in der Nadel keine Temperaturunterschiede aus: T\left( {r,x} \right) = T\left( x \right)

Aufgaben:

  1. Stellen Sie die Differentialgleichung für den Temperaturverlauf in der Nadel im stationären Fall mit Hilfe einer Bilanz an einem differentiellen Element auf.
  2. Im Folgenden sei die Wärmeleitfähigkeit keine Funktion des Ortes. Wie lautet dann die Differentialgleichung?
  3. Bringen Sie die Differentialgleichung mit den Größen \xi = \frac{x}{L} und \Theta = \frac{{T-{T_U}}}{{{T_W}-{T_U}}} in eine dimensionslose Form.
  4. Lösen Sie die Differentialgleichung aus c).
  5. Wie lauten die Randbedingungen in dimensionsbehafteter und in dimensionsloser Form? Bestimmen Sie die Konstanten.
  6. Wie hoch ist der Wärmestrom, der von der Nadel abgegeben wird?
  7. Wie hoch ist der abgegebene Wärmestrom einer 0,8 m x 0,8 m großen Fläche, wenn sich alle 5 mm eine Nadel befindet?
  8. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad der Nadeln.

Gegeben:

Nadellänge: L = 25\;{\text{mm}}

Nadeldurchmesser: D = 1\;{\text{mm}}

Wärmeübergangskoeffizient: h = 100\frac{{\text{W}}}{{{{\text{m}}^2}{\text{K}}}}

Wärmeleitfähigkeit: k = 400\frac{{\text{W}}}{{{\text{m}} \cdot {\text{K}}}}

Temperatur am Fuß der Nadel: {T_W} = 100\;^\circ {\text{C}}

Temperatur am Kopf der Nadel: {T_S} = 0\;^\circ {\text{C}}

Umgebungstemperatur: {T_U} = 0\;^\circ {\text{C}}

Lösung

a) Aufstellen der Differentialgleichung

Wir betrachten ein Differentielles Element und stellen die Bilanzgleichung auf:

differentielles-element-nadel

Aus dem 1. Hauptsatz folgt:

0 = {\dot Q_{L,x}}-{\dot Q_{L,x+dx}}-{\dot Q_K}

Fourier:

{\dot Q_L} = -kA\frac{{dT}}{{dx}},\quad A = \frac{{{d^2}\pi }}{4}

Taylor-Entwicklung:

{\dot Q_{L,x+dx}} = {\dot Q_{L,x}}+\frac{1}{{1!}}\frac{{d{{\dot Q}_L}}}{{dx}}dx+\frac{1}{{2!}} \ldots

Newton:

{\dot Q_K} = h{A_M}\left( {T\left( x \right)-{T_U}} \right),\quad {A_M} = d\pi \cdot dx

Alles einsetzen:

0 = \frac{d}{{dx}}\left( {k\left( x \right)\frac{{dT}}{{dx}}} \right)-\frac{{4h}}{d}\left( {T-{T_U}} \right)

0 = k\left( x \right)\frac{{{d^2}T}}{{d{x^2}}}+\frac{{dT}}{{dx}}\frac{{dk\left( x \right)}}{{dx}}-\frac{{4h}}{d}\left( {T-{T_U}} \right)

b) k(x) = k

Wir ersetzen in der Differentialgleichung einfach k\left( x \right) durch den konstanten Wert k:

0 = \underbrace {k\left( x \right)}_k\frac{{{d^2}T}}{{d{x^2}}}+\frac{{dT}}{{dx}}\underbrace {\frac{{dk\left( x \right)}}{{dx}}}_0-\frac{{4h}}{d}\left( {T-{T_U}} \right)

\Rightarrow \quad 0 = \frac{{{d^2}T}}{{d{x^2}}}-\frac{{4h}}{{kd}}\left( {T-{T_U}} \right)

c) Entdimensionierung

Wir definieren die benötigten dimensionslosen Größen:

\Theta = \frac{{T-{T_U}}}{{{T_W}-{T_U}}}\quad \Rightarrow \quad T = \Theta \left( {{T_W}-{T_U}} \right)+{T_U}\quad \Rightarrow \quad dT = \left( {{T_W}-{T_U}} \right)d\Theta

\xi = \frac{x}{L}\quad \Rightarrow \quad x = \xi L\quad \Rightarrow \quad dx = Ld\xi \quad \Rightarrow \quad d{x^2} = {L^2}d{\xi ^2}

Einsetzen ergibt die dimensionslose Differentialgleichung:

0 = \frac{{{d^2}\Theta }}{{d{\xi ^2}}}\frac{{\left( {{T_W}-{T_U}} \right)}}{{{L^2}}}-\frac{{4h}}{{kd}}\Theta \left( {{T_W}-{T_U}} \right)

\Rightarrow \quad 0 = \frac{{{d^2}\Theta }}{{d{\xi ^2}}}-{M^2}\Theta ,\quad \quad {M^2} = \frac{{4h{L^2}}}{{kd}}

d) Lösung der Differentialgleichung

Wir lösen die Differentialgleichung mit dem Exponentialansatz:

\Theta = C{e^{\lambda \xi }},\quad {\Theta ^\prime } = C\lambda {e^{\lambda \xi }},\quad {\Theta ^{\prime \prime }} = C{\lambda ^2}{e^{\lambda \xi }}

\Rightarrow \quad C{\lambda ^2}{e^{\lambda \xi }}-{M^2}C{e^{\lambda \xi }} = 0

\Rightarrow \quad {\lambda ^2} = {M^2}

\Rightarrow \quad \lambda = \pm M

\Rightarrow \quad \Theta = {C_1}{e^{M\xi }}+{C_2}{e^{-M\xi }}

e) Randbedingungen und Bestimmung der Konstanten

Randbedingungen:

T\left( {x = 0} \right) = {T_W}\quad \Rightarrow \quad \Theta \left( {\xi = 0} \right) = 1

T\left( {x = L} \right) = {T_S}\quad \Rightarrow \quad \Theta \left( {\xi = 1} \right) = 0

Einsetzen:

\Theta \left( {\xi = 0} \right) = 1 = {C_1}+{C_2}\quad \Rightarrow \quad {C_2} = 1-{C_1}

\Theta \left( {\xi = 1} \right) = 0 = {C_1}{e^M}+{C_2}{e^{-M}}

\Rightarrow \quad 0 = {C_1}{e^M}+{e^{-M}}-{C_1}{e^{-M}}

\Rightarrow \quad {C_1} = -\frac{{{e^{-M}}}}{{{e^M}-{e^{-M}}}},\quad {C_2} = \frac{{{e^M}}}{{{e^M}-{e^{-M}}}}

\Rightarrow \quad \Theta = \frac{{{e^{M\left( {1-\xi } \right)}}-{e^{-M\left( {1-\xi } \right)}}}}{{{e^M}-{e^{-M}}}} = \frac{{\sinh \left( {M\left( {1-\xi } \right)} \right)}}{{\sinh \left( M \right)}}

f) Wärmestrom der Nadel

Wir berechnen zuerst den Wärmestrom, der vom Körper in die Nadel aufgenommen wird.

{{\dot Q}_i} = -k \cdot \frac{{{d^2}\pi }}{4} \cdot {\left. {\frac{{dT}}{{dx}}} \right|_{x = 0}}

\Rightarrow \quad {{\dot Q}_i} = -k\frac{{{d^2}\pi }}{4}\frac{{{T_W}-{T_S}}}{L}{\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 0}}

\Rightarrow \quad {{\dot Q}_i} = k\frac{{{d^2}\pi }}{4}\frac{{{T_W}-{T_S}}}{L}{\left. {\frac{{M\cosh \left( {M\left( {1-\xi } \right)} \right)}}{{\sinh \left( M \right)}}} \right|_{\xi = 0}} = 1,508\;{\text{W}}

Wärmestrom, der durch Wärmeleitung an der Nadelspitze abgegeben wird:

{{\dot Q}_o} = -k \cdot \frac{{{d^2}\pi }}{4} \cdot {\left. {\frac{{dT}}{{dx}}} \right|_{x = L}}

\Rightarrow \quad {{\dot Q}_o} = -k\frac{{{d^2}\pi }}{4}\frac{{{T_W}-{T_L}}}{L}{\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 1}}

\Rightarrow \quad {{\dot Q}_o} = k\frac{{{d^2}\pi }}{4}\frac{{{T_W}-{T_L}}}{L}{\left. {\frac{{\cosh \left( {M\left( {1-\xi } \right)} \right)M}}{{\sinh \left( M \right)}}} \right|_{\xi = 1}} = 1,135\;{\text{W}}

Wärmestrom, der von der Nadel an die Umgebung abgegeben wird:

{\dot Q_N} = {\dot Q_i}-{\dot Q_o} = 0,373\;{\text{W}}

g) Wärmestrom der Fläche

Die Nadeln sind wie folgt auf der Platte angeordnet:

nadeln-auf-flaeche

Anzahl der Nadeln:

n = {\left( {\frac{{0,8}}{{0,005}}} \right)^2} = 25600

Wärmestrom, der von der Grundplatte durch Konvektion ausgeht:

{{\dot Q}_{GF}} = h \cdot A\left( {{T_W}-{T_u}} \right)

= h\left( {0,8 \cdot 0,8-n \cdot \frac{{{{0,001}^2}\pi }}{4}} \right)\left( {{T_W}-{T_u}} \right) = 6198,9\;{\text{W}}

Wärmestrom aller Nadeln:

{\dot Q_{N,ges}} = n \cdot {\dot Q_n} = 9560,3\;{\text{W}}

h) Wirkungsgrad

Wirkungsgrad:

\eta = \frac{{{{\dot Q}_N}}}{{{{\dot Q}_{\max }}}} = \frac{{{{\dot Q}_N}}}{{h \cdot d\pi L \cdot \left( {{T_W}-{T_U}} \right)}} = 0,47

Leistungsziffer:

\varepsilon = \frac{{{{\dot Q}_N}}}{{{{\dot Q}_{\min }}}} = \frac{{{{\dot Q}_N}}}{{h \cdot \frac{{{d^2}\pi }}{4} \cdot \left( {{T_W}-{T_U}} \right)}} = 47,49