A 04 – Kühlung mit Ringrippe

 

In der Abbildung ist eine Ringrippe mit dem Innenradius {r_i}, Außenradius {r_a} und der Wandstärke s dargestellt. Die Temperatur am Rippenfuß ist konstant {T_W}. Die Spitze der Rippe ist adiabat. Die Rippe wird von einem Fluid der Temperatur {T_U} und der Geschwindigkeit u umströmt. Dadurch ergibt sich an der Außenseite ein konstanter Wärmeübergangskoeffizient h.

ringrippe

Annahmen:

  • Der Wärmeübergangskoeffizient und die Wärmeleitfähigkeit sind über die Rippenhöhe konstant.
  • Es bilden sich keine Temperaturgradienten in axialer Richtung

Aufgaben:

  1. Stellen Sie die Differentialgleichung für den Temperaturverlauf in der Rippe im stationären Fall mithilfe einer Bilanz an einem differentiellen Element auf.
  2. Bringen Sie die Differentialgleichung mit den Größen \xi = \frac{r}{{{r_i}}} und \Theta = \frac{{T-{T_U}}}{{{T_W}-{T_U}}} in eine dimensionslose Form.
  3. Lösen Sie die Differentialgleichung aus b).
  4. Wie lauten die Randbedingungen in dimensionsbehafteter und in dimensionsloser Form? Bestimmen Sie die Konstanten.
  5. Wie hoch ist der Wärmestrom, der von der Ringrippe abgegeben wird?

Gegeben:

Innenradius: {r_i} = 0,01\;{\text{m}}

Außenradius: {r_a} = 0,05\;{\text{m}}

Wandstärke: s = 0,001m

Einseitiger Wärmeübergangskoeffizient: h = 300\frac{{\text{W}}}{{{{\text{m}}^2}{\text{K}}}}

Wärmeleitfähigkeit: k = 60\frac{{\text{W}}}{{{\text{m}} \cdot {\text{K}}}}

Umgebungstemperatur: {T_U} = 20\;^\circ {\text{C}}

Temperatur am Fuß der Rippe: {T_W} = 100\;^\circ {\text{C}}

Wertetabelle der modifizierten Bessel-Funktionen:

\begin{array}{*{20}{c}} x&\vline & {{I_0}\left( x \right)}&\vline & {{I_1}\left( x \right)}&\vline & {{K_0}\left( x \right)}&\vline & {{K_1}\left( x \right)} \\ \hline 1&\vline & {1,266}&\vline & {0,565}&\vline & {0,421}&\vline & {0,602} \\ 5&\vline & {27,234}&\vline & {24,34}&\vline & {0,004}&\vline & {0,004} \end{array}

Lösung

a) Aufstellen der Differentialgleichung

Wir betrachten ein differentielles Element:

wust-a4-differentielles-element-ringrippe

Wir stellen nun die Bilanzgleichung auf. Zu beachten ist dabei, dass die Fläche A nun vom Radius abhängt:

0 = {{\dot Q}_{L,r}}-{{\dot Q}_{L,r+dr}}-2{{\dot Q}_K}

{{\dot Q}_{L,r}} = -kA\left( r \right)\frac{{dT}}{{dr}},\quad A\left( r \right) = 2r\pi s

{{\dot Q}_{L,r+dr}} = {{\dot Q}_{L,r}}+\frac{1}{{1!}}\frac{{\partial {{\dot Q}_{L,r}}}}{{\partial r}}dr+\frac{1}{{2!}} \ldots

{{\dot Q}_K} = h \cdot \underbrace {2\pi rdr}_{{A_K}} \cdot \left( {T\left( r \right)-{T_U}} \right)

Also:

0 = k\frac{d}{{dr}}\left( {2\pi rs\frac{{dT}}{{dr}}} \right)dr-4h\pi rdr\left( {T\left( r \right)-{T_U}} \right)

\Rightarrow \quad 0 = \frac{d}{{dr}}\left( {r\frac{{dT}}{{dr}}} \right)-\frac{{2h}}{{ks}}r\left( {T-{T_U}} \right)

\Rightarrow \quad 0 = \frac{{{d^2}T}}{{d{r^2}}}+\frac{1}{r}\frac{{dT}}{{dr}}-\frac{{2h}}{{ks}}\left( {T-{T_U}} \right)

b) Entdimensionierung

Wir kommen nun zur Entdimensionierung. Die benötigten Größen sind schon gegeben:

\Theta = \frac{{T-{T_U}}}{{{T_W}-{T_U}}}\quad \Rightarrow \quad T = \left( {{T_W}-{T_U}} \right)\Theta +{T_U}\quad \Rightarrow \quad dT = \left( {{T_W}-{T_U}} \right)d\Theta

\xi = \frac{r}{{{r_i}}}\quad \Rightarrow \quad r = \xi {r_i}\quad \Rightarrow \quad dr = {r_i}d\xi

Einsetzen:

0 = \frac{{{T_W}-{T_U}}}{{r_i^2}}\frac{{{d^2}\Theta }}{{d{\xi ^2}}}+\frac{1}{{{r_i}\xi }}\frac{{{T_W}-{T_U}}}{{{r_i}}}\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}-\frac{{2h}}{{ks}}\left( {\left( {{T_W}-{T_U}} \right)\Theta +{T_U}-{T_U}} \right)

\Rightarrow \quad 0 = \frac{{{d^2}\Theta }}{{d{\xi ^2}}}+\frac{1}{\xi }\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}-\underbrace {\frac{{2hr_i^2}}{{ks}}}_{ = :{X^2}}\Theta

Dies ist eine (modifizierte) Bessel’sche Differentialgleichung

c) Lösung der Differentialgleichung

Die allgemeine Lösung der modifizierten Bessel’schen Differentialgleichung lautet:

\Theta \left( \xi \right) = {C_1}{I_0}\left( \xi \right)+{C_2}{K_0}\left( \xi \right)

mit

{I_n}(x) = {i^{-n}}{J_n}\left( {ix} \right) = \sum\limits_{r = 0}^\infty {\frac{{{{\left( {\frac{x}{2}} \right)}^{2r+n}}}}{{\Gamma \left( {r+n+1r} \right)!}}} {\mkern 1mu}

{K_n}(x) = \mathop {\lim }\limits_{p \to n} \frac{\pi }{2}\frac{{{I_{-p}}\left( x \right)-{I_p}\left( x \right)}}{{\sin \left( {p\pi } \right)}}{\mkern 1mu}

d) Randbedingungen und Bestimmung der Konstanten

Randbedingungen:

T\left( {r = {r_i}} \right) = {T_W}\quad \Rightarrow \quad \Theta \left( {\xi = 1} \right) = 1

{\left. {\frac{{dT}}{{dr}}} \right|_{r = {r_a}}} = 0\quad \Rightarrow \quad {\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = \frac{{{r_a}}}{{{r_i}}}}} = 0

Wir setzen ein, um die Konstanten zu bestimmen:

\Theta \left( {\xi = 1} \right) = {C_1}{I_0}\left( 1 \right)+{C_2}{K_0}\left( 1 \right)\mathop = \limits^! 1

{\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = \frac{{{r_a}}}{{{r_i}}} = {\xi _a} = 5}} = {C_1}{I_1}\left( 5 \right)-{C_2}{K_1}\left( 5 \right)\mathop = \limits^! 0

\Rightarrow \quad {C_1} = {C_2}\frac{{{K_1}\left( 5 \right)}}{{{I_1}\left( 5 \right)}}

\Rightarrow \quad 1 = {C_2}\frac{{{K_1}\left( 5 \right)}}{{{I_1}\left( 5 \right)}}{I_0}\left( 1 \right)+{C_2}{K_0}\left( 1 \right)

\Rightarrow \quad {C_2} = \frac{1}{{\frac{{{K_1}\left( 5 \right)}}{{{I_1}\left( 5 \right)}}{I_0}\left( 1 \right)+{K_0}\left( 1 \right)}} = \frac{{{I_1}\left( 5 \right)}}{{{K_1}\left( 5 \right){I_0}\left( 1 \right)+{K_0}\left( 1 \right){I_1}\left( 5 \right)}}

\Rightarrow \quad {C_1} = \frac{{{K_1}\left( 5 \right)}}{{{K_1}\left( 5 \right){I_0}\left( 1 \right)+{K_0}\left( 1 \right){I_1}\left( 5 \right)}}

Damit sind sowohl {C_1} als auch {C_2} Funktionen von {K_1},{K_0},{I_1},{I_0}. Durch das Einsetzen der Tabellenwerte für diese Funktionen erhalten wir:

{C_2} = \frac{1}{{\frac{{0,004}}{{24,34}} \cdot 1,266+0,421}} = 2,374

{C_1} = \frac{1}{{1,266+\frac{{0,421}}{{0,004}} \cdot 24,34}} = 3,9 \cdot {10^{-4}}

e) Bestimmung des Wärmestroms

\dot \Theta = -k2\pi {r_i}s{\left. {\frac{{dT}}{{dr}}} \right|_{r = {r_i}}} = -k2\pi {r_i}s\frac{{{T_W}-{T_U}}}{{{r_i}}}{\left. {\frac{{d\Theta }}{{d\xi }}} \right|_{\xi = 1}}

= -k2\pi s\left( {{T_W}-{T_U}} \right)\left( {{C_1}{I_1}\left( 1 \right)-{C_2}{K_1}\left( 1 \right)} \right) = 43,1\;{\text{W}}

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1 Kommentar zu “A 04 – Kühlung mit Ringrippe”

Heinz-Wilhelm Lange

Hallo,

ich vermute einmal dass die allgem. Lösung der Differentialgleichung
Theta(ksi) = C_1 * I_0(ksi) + C_2 * K_0(ksi)
einen Fehler beinhaltet (es fehlt ein “X” bzw. „1/X“). Das berechnete Temperaturprofil ist nur von ksi (= r / r_0) abhängig.

Dazu eine Überlegung: Für zwei Rippen gleich Abmessung, gleicher Wand- und Umgebungstemperatur ergibt sich z.B. für zwei verschiedene Wärmeübergangswerte (z.B. h = 0,1 und 1000 W/(m² K)) die gleiche Temperaturverteilung – eher unwahrscheinlich.

Ein weiterer Test: Von dem berechneten Temperaturverlauf kann man an verschiedenen Stellen die erste und zweite Ableitung nummerisch bestimmen. Eine punktweise Berechnung der Differenzengleichung (statt der Differentialgleichung) zeigt dass die Lösung die Gleichung nicht für verschiedene Wert von „X“ gleichzeitig erfüllen kann.

HWL – 1.Febr. 2016

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