A 08 – Temperaturschwankungen im Verbrennungsmotor

 

Die gusseisernen Laufbuchsen von Verbrennungsmotoren sind ständig großen Temperaturschwankungen ausgesetzt. Wir betrachten einen Dieselmotor, der mit der konstanten Drehzahl n läuft. Im quasistationären Zustand stellen sich dabei eine mittlere Oberflächentemperatur {T_m} und eine Temperaturschwankung \Delta T ein. Die Oberflächentemperatur kann als eine harmonische Schwingung der Form {T_{ob}}\left( t \right) = {T_m}+\Delta T\cos \left( {\omega t} \right) angenommen werden.

motor-mit-laufbuchse

Annahme: Die Laufbuchse kann als halbunendlicher Körper angenommen werden.

Aufgaben:

  1. Wie hoch ist die Amplitude der Temperaturschwankung in der Laufbuchse 0,5 mm unter der Oberfläche?
  2. Welche Minimal- und Maximaltemperatur stellt sich 1,5 mm unter der Oberfläche ein? Wie viele Sekunden hinkt hier die Maximaltemperatur in der Laufbuchse der Oberflächentemperatur nach?

Gegeben:

Mittlere Oberflächentemperatur: {T_m} = 1175\;K

Temperaturschwankung: \Delta T = 650\;K

Drehzahl: n = 2580\frac{1}{{\min }}

Temperaturleitfähigkeit (Gusseisen): \alpha = 11 \cdot {10^{-6}}\frac{{\text{J}}}{{\text{s}}}{{\text{m}}^2}

Lösung

a) Amplitude der Temperaturschwankung

Für die Oberflächentemperatur gilt:

{T_{ob}} = {T_m}+\Delta T\cos \left( {\omega t} \right);\quad \omega = 2\pi f = 2\pi n = \frac{{2\pi }}{{{t_0}}}

temperaturverlauf

{t_0} = \frac{1}{{2580\frac{1}{{\min }}}} \cdot 60\frac{{\text{s}}}{{\min }}

Wellenlänge:

\Lambda = 2\sqrt {\pi \alpha {t_0}}

Eindringtiefe:

\frac{1}{B} = \exp \left\{ {-\frac{{2\pi x}}{\Lambda }} \right\} = \frac{{T\left( x \right)}}{{{T_0}}}

Für die Amplitude der Temperaturschwankung in 0,5 mm Tiefe gilt somit:

\Delta T\left( {x = 0,5 \cdot {{10}^{-3}}{\text{m}}} \right) = \Delta T\left( {x = 0} \right) \cdot \exp \left\{ {-\frac{{\pi x}}{{\sqrt {\pi \alpha {t_0}} }}} \right\} = 112,7\;{\text{K}}

b) Minimal-, Maximaltemperatur und Phasenverschiebung

Für die Amplitude der Temperaturschwankung in 1,5mm Tiefe gilt::

\Delta T\left( {x = 1,5 \cdot {{10}^{-3}}{\text{m}}} \right) = \Delta T\left( {x = 0} \right)\exp \left\{ {-\frac{{\pi x}}{{\sqrt {\pi \alpha {t_0}} }}} \right\} = 3,4\;{\text{K}}

Damit lassen sich Minimal- und Maximaltemperatur in dieser Tiefe bestimmen:

{T_{\min }} = {T_m}-\Delta T = 1171,6\;{\text{K}}

{T_{\max }} = {T_m}+\Delta T = 1178,4\;{\text{K}}

Wir berechnen die Zeit, welche die maximale Temperatur hinterherhinkt mit der Geschwindigkeit. Bei Licht würde gelten: Lichtgeschwindigkeit = Wellenlänge mal Frequenz:

c = \lambda \cdot f

In unserem Fall gilt:

v = \Lambda \cdot f = \frac{\Lambda }{{{t_0}}} = \Lambda n

\Rightarrow \quad t = \frac{s}{v} = \frac{x}{\Lambda }{t_0} = \frac{x}{{\Lambda \cdot n}} = \frac{{0,0015\;{\text{m}}}}{{1,79 \cdot {{10}^{-3}}{\text{m}} \cdot \frac{{2580\frac{1}{{\min }}}}{{60\frac{{\text{s}}}{{\min }}}}}} = 0,019\;{\text{s}}