03.2 – A-Stabilität

 

Untersuchen Sie das 2-Schritt Adams-Bashforth-Verfahren, das 2-Schritt Adams-Moulton-Verfahren, das Milne-Simpson-Verfahren und das BDF-2 Verfahren auf A-Stabilität und stellen Sie die jeweiligen Stabilitätsbereiche grafisch dar.

Lösung

Mehrschrittverfahren:

\sum\limits_{j = 0}^k {{\alpha _j}{y_{i+j}}} = h\sum\limits_{j = 0}^k {{\beta _j}{f_{i+j}}}

angewandt auf Testgleichung \dot y = \lambda y ergibt:

\sum\limits_{j = 0}^k {\left[ {{\alpha _j}-\underbrace {\tau \lambda }_{ = z}{\beta _j}} \right]{u_{i+j}} = 0} \quad \quad \quad \left( * \right)

\rho \left( J \right) = \sum\limits_{l = 0}^k {{\alpha _l}{\zeta ^l}} ,\quad \sigma \left( J \right) = \sum\limits_{l = 0}^k {{\beta _l}{\zeta ^l}}

Die Lösung soll also langsam abklingen. Die Lösung der Testgleichung \dot y = \lambda y ist y = c{e^{\lambda t}}. Diese Funktion klingt nur ab, wenn \lambda < 0.

Eine Lösung \left\{ {{u_i}} \right\} von \left( * \right) ist genau dann die Nullfolge, wenn für jede Nullstelle \mu von \rho \left( \zeta \right)-z\sigma \left( \zeta \right) gilt: \left| \mu \right| < 1 unabhängig von z.

Wir betrachten nun zunächst das Zweischritt-Adams-Bashforth-Verfahren. Die beiden benötigten Polynome sind:

\tau \left( \zeta \right) = -\zeta +{\zeta ^2}

\sigma \left( \zeta \right) = -\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\zeta

-\zeta +{\zeta ^2}-z\left( {-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\zeta } \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {\zeta ^2}+\left( {-1-\frac{3}{2}z} \right)\zeta +\frac{1}{2}z = 0

{\zeta _{1,2}} = \frac{{1+\frac{3}{2}z \pm \sqrt {{{\left( {1+\frac{3}{2}z} \right)}^2}-2z} }}{2}

BDF-2-Verfahren:

\frac{3}{2}{u_{i+1}}-2{u_i}+\frac{1}{2}{u_{i-1}} = \tau {f_{i+1}}

\rho \left( \zeta \right) = \frac{3}{2}{\zeta ^2}-2\zeta +\frac{1}{2}

\sigma \left( \zeta \right) = {\zeta ^2}

\frac{3}{2}{\zeta ^2}-2\zeta +\frac{1}{2}-z{\zeta ^2} = 0

\left( {\frac{3}{2}-z} \right){\zeta ^2}-2\zeta +\frac{1}{2} = 0

\quad \Rightarrow \quad {\zeta _{1,2}} = \frac{{4 \pm \sqrt {16-4\left( {3-2z} \right)} }}{{2\left( {3-2z} \right)}} = \frac{{4 \pm \sqrt {4+8z} }}{{6-4z}}

Grafische Darstellung (Beispiel):

Stabilitätsbereiche

\rho \left( \zeta \right)-z\sigma \left( \zeta \right) = 0\quad \Rightarrow \quad z = \frac{{\rho \left( \zeta \right)}}{{\sigma \left( \zeta \right)}}

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