A01 – Kugelsymmetrische Raumladungsverteilung

 

Gegeben ist die kugelsymmetrische Raumladungsverteilung

\rho (r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \rho _0 \left( {\frac{r}{{R_1 }}-\frac{3}{2}} \right) & {r \leq R_1 }  \\  {-\rho _0 \frac{r} {{R_1 }}} & {R_1  < r \leq R_2 }  \\  \end{array} } \right.

(a) Berechnen Sie die in einem kugelförmigen Volumen mit variablem Radius r eingeschlossene Ladung abhängig von den gegebenen Größen! Unterscheiden Sie dabei die Fälle 0 \leq r < R_1, R_1  \leq r < R_2 und r \geq R_2!

(b1) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D(r) in Abhängigkeit
von den gegebenen Größen. Unterscheiden Sie dabei die Fälle 0 \leq r < R_1, R_1  \leq r < R_2 und r \geq R_2!
(b2) Skizzieren Sie den Verlauf der dielektrischen Verschiebung D(r).

(c) Berechnen Sie die Spannung U_{R_1 R_2 } zwischen einem Punkt bei r = R_1 und einem
Punkt bei r = R_2 abhängig von den gegebenen Größen \left( {\varepsilon _r  = 1} \right).

Lösung:

Diese Art der Aufgabenstellung wird sehr ausführlich unter „Experimentalphysik 09.2 – Ladungsverteilung und Gauß’scher Satz“

a)

Die in einem Gebiet eingeschlossene Ladung kann über Q_{eing}  = \int\limits_V {\rho (r)\cdot dV} berechnet werden. Wenn bekannt ist, wie die geometrische Symmetrie ist, kann dieser Term vereinfacht werden. In diesem Fall ist der Körper eine Kugel, was zur Folge hat, dass ein Volumenelement die Größe 4\pi r^2 hat.
Hiermit lässt sich obige Formel vereinfachen zu: Q_{eing} (r) = \int\limits_0^r {\rho (r ^{\prime})\cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}
Bereich r \leq R_1:
Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = {\rho _0}\left( {\frac{r} {{{R_1}}} - \frac{3} {2}} \right) ergibt sich:

Q_{eing} (r) = \int\limits_0^r {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}

Zu beachten ist, dass „r“ die obere Integralgrenze „r’“ hingegen die Laufvariable von 0 bis r ist.

Wir lösen das Integral auf:

Q_{eing} \left( r \right) = 4\pi \rho _0 \int\limits_0^r {\left( {\frac{{r ^{\prime 3} }} {{R_1 }}-\frac{3} {2}r ^{\prime 2} } \right)} dr ^{\prime}= 4\pi \rho _0 \left[ {\frac{{r ^{\prime 4} }} {{4R_1 }}-\frac{{r ^{\prime 3} }} {2}} \right]_0^r

= 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{r^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{r^3 }} {2}} \right)

\underline {\underline {Q_{eing} \left( r \right) = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{r^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{r^3 }} {2}} \right)} }

Bereich R_1  < r \leq R_2:
Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = -\rho _0 \frac{r} {{R_1 }} ergibt sich:
Q_{eing} \left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} +\int\limits_{R_1 }^r {\left( {-\rho _0 \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}
Hierbei ist wichtig, dass im Intervall \left[ {0;R_1 } \right] noch die erste und erst ab R_1  \leq r die zweite Ladungsverteilung gilt.

Wir lösen das Integral auf:
Q_{eing} \left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} +\int\limits_{R_1 }^r {\left( {-\rho _0 \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}

= 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{R_1^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{R_1^3 }} {2}} \right)-\frac{{4\pi \rho _0 }} {{R_1 }}\left[ {\frac{{r ^{\prime 4} }} {4}} \right]_{R_1 }^r

Q_{eing} \left( r \right) = \pi \rho _0 \left( {R_1^3 -2R_1^3 } \right)-\left[ {\frac{{4\pi \rho _0 }} {{R_1 }}\left( {\frac{{r^4 -R_1^4 }} {4}} \right)} \right]

\underline {\underline {Q_{eing} \left( r \right) = -\frac{{\rho _0 \pi r^4 }} {{R_1 }}} }

Bereich r > R_2:
Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = 0 ergibt sich:
Q\left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 } \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}+\int\limits_{R_1 }^{R_2 } {-\rho _0 } \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}\cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}+\int\limits_{R_2 }^r 0 \cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}

Wir lösen das Integral auf:
Q_{eing} \left( r \right) = 4\pi \rho _0 \int\limits_0^r {\left( {\frac{{r ^{\prime 3} }} {{R_1 }}-\frac{3} {2}r ^{\prime 2} } \right)} dr ^{\prime}= 4\pi \rho _0 \left[ {\frac{{r ^{\prime 4} }} {{4R_1 }}-\frac{{r ^{\prime 3} }} {2}} \right]_0^r  = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{r^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{r^3 }} {2}} \right)

\underline {\underline {Q_{eing} \left( r \right) = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{r^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{r^3 }} {2}} \right)} }

Bereich R_1  < r \leq R_2:
Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = -\rho _0 \frac{r} {{R_1 }} ergibt sich:
Q_{eing} \left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} +\int\limits_{R_1 }^r {\left( {-\rho _0 \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}
Hierbei ist wichtig, dass im Intervall \left[ {0;R_1 } \right] noch die erste und erst ab R_1  \leq r die zweite Ladungsverteilung gilt.

Wir lösen das Integral auf:
Q_{eing} \left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}} +\int\limits_{R_1 }^r {\left( {-\rho _0 \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}}  = 4\pi \rho _0 \left( {\frac{{R_1^4 }} {{4R_1 }}-\frac{{R_1^3 }} {2}} \right)-\frac{{4\pi \rho _0 }} {{R_1 }}\left[ {\frac{{r ^{\prime 4} }} {4}} \right]_{R_1 }^r

Q_{eing} \left( r \right) = \pi \rho _0 \left( {R_1^3 -2R_1^3 } \right)-\left[ {\frac{{4\pi \rho _0 }} {{R_1 }}\left( {\frac{{r^4 -R_1^4 }} {4}} \right)} \right]

\underline {\underline {Q_{eing} \left( r \right) = -\frac{{\rho _0 \pi r^4 }} {{R_1 }}} }

Bereich r > R_2:
Mit der Raumladungsverteilung \rho \left( r \right) = 0 ergibt sich:
Q\left( r \right) = \int\limits_0^{R_1 } {\rho _0 } \left( {\frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}-\frac{3} {2}} \right)4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}+\int\limits_{R_1 }^{R_2 } {-\rho _0 } \frac{{r ^{\prime}}} {{R_1 }}\cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}+\int\limits_{R_2 }^r 0 \cdot 4\pi r ^{\prime 2} \cdot dr ^{\prime}

Wir lösen das Integral auf:
\underline {\underline {Q\left( r \right) = -\pi \rho _0 \frac{{R_2^4 }} {{R_1 }}} }

b)

Die Dielektrische Verschiebung D(r)ist definiert als die eingeschlossene Ladung geteilt durch die betrachtete Oberfläche. In diesem Fall ist dies die Kugeloberfläche: D(r) = \frac{{Q(r)}} {{4\pi r^2 }}
Für die drei verschiedenen Bereiche ergibt sich:

D(r) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \rho _0 \left( {\frac{{r^2 }}{{4R_1 }}-\frac{r}{2}} \right) & {r \leq R_1 }  \\ {-\rho _0 \frac{{r^2 }} {{4R_1 }}} & {R_1  < r \leq R_2 }  \\ {-\rho _0 \frac{{R_2^4 }} {{4R_1 r^2 }}} & {r > R_2 }  \\ \end{array} } \right.

Der dazugehörige Verlauf ist:

Verteilung

c)

mit E\left( {r ^{\prime}} \right) = \frac{{D(r ^{\prime})}} {{\varepsilon _0 \varepsilon _r }} ergibt sich:
U_{R_1 R_2 }  = \int\limits_{R_1 }^{R_2 } E (r ^{\prime})dr ^{\prime}= \int\limits_{R_1 }^{R_2 }-\frac{{\rho _0 r^2 }} {{4\varepsilon _0 \varepsilon _r R_1 }}dr = \left[ {-\frac{{\rho _0 r^3 }} {{12R_1 \varepsilon _0 \varepsilon _r }}} \right]_{R_1 }^{R_2 }