01.1 – Koordinatensysteme

Geben Sie die Lage eines beliebigen Punktes P im Raum an.

in kartesischen Koordinaten
in Zylinderkoordinaten
in Kugelkoordinaten
Drücken Sie die kartesischen Koordinaten durch Zylinder- und Kugelkoordinaten aus
Berechnen Sie die Jacobideterminante der Koordinatentransformationen und geben Sie die Volumenelemente in den verschiedenen Koordinatensystemen an

Lösung

a )

P = (x, y, z)

b )

P = (r, φ, h)

c )

P = (r, θ, φ)

d )

kartesische Koordinaten → Zylinderkoordinaten:

$x = r\cos \phi$

$y = r\sin \phi$

$z = h$

kartesische Koordinaten → Kugelkoordinaten:

$x = r\sin \vartheta \cos \phi$

$y = r\sin \vartheta \sin \phi$

$z = r\cos \vartheta$

e )

kartesische Koordinaten → Zylinderkoordinaten:

$\det \left| {\frac{{\partial x,\partial y,\partial z}} {{\partial r,\partial \phi ,\partial h}}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{\partial x}} {{\partial r}} & \frac{{\partial x}} {{\partial \phi }} & \frac{{\partial x}} {{\partial h}} \\ \frac{{\partial y}} {{\partial r}} & \frac{{\partial y}} {{\partial \phi }} & \frac{{\partial y}} {{\partial h}} \\ \frac{{\partial z}} {{\partial r}} & \frac{{\partial z}} {{\partial \phi }} & \frac{{\partial z}} {{\partial h}} \\ \end{array} } \right|$

$= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \cos \phi & -r\sin \phi & 0 \\ \sin \phi & r\cos \phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} } \right| = r\cos ^2 \phi +r\sin ^2 \phi = r$

Volumenelement:

$dV = r \cdot dr \cdot d\phi \cdot dh$

kartesische Koordinaten → Kugelkoordinaten:

$\det \left| \frac{{\partial \left( {x,y,z} \right)}} {{\partial \left( {r,\vartheta ,\phi } \right)}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{\partial x}}{{\partial r}} & \frac{{\partial x}}{{\partial \vartheta }} & \frac{{\partial x}}{{\partial \phi }} \\ \frac{{\partial y}}{{\partial r}} & \frac{{\partial y}}{{\partial \vartheta }} & \frac{{\partial y}}{{\partial \phi }} \\ \frac{{\partial z}}{{\partial r}} & \frac{{\partial z}}{{\partial \vartheta }} & \frac{{\partial z}}{{\partial \phi }} \\ \end{array} } \right|$

$= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \sin \vartheta \cos \phi & r\cos \vartheta \cos \phi & -r\sin \vartheta \sin \phi \\ \sin \vartheta \sin \phi & r\cos \vartheta \sin \phi & r\sin \vartheta \cos \phi \\ \cos \vartheta & -r\sin \vartheta & 0 \\ \end{array} } \right|$

$= r\cos \varphi \cos \vartheta r\sin \vartheta \cos \varphi \cos \vartheta +r\sin \vartheta \sin \varphi \sin \vartheta \sin \varphi r\sin \vartheta$

$+ \sin \vartheta \cos \varphi r\sin \vartheta \cos \varphi r\sin \vartheta +r\sin \vartheta \sin \varphi r\sin \varphi \cos \vartheta \cos \vartheta$

$= r^2 \sin \vartheta \left( {\cos ^2 \phi \cos ^2 \vartheta +\sin ^2 \phi \sin ^2 \vartheta +\cos ^2 \phi \sin ^2 \vartheta +\sin ^2 \phi \cos ^2 \vartheta } \right)$

$= r^2 \sin \vartheta \left( {\cos ^2 \vartheta \left( {\cos ^2 \phi +\sin ^2 \phi } \right)+\sin ^2 \vartheta \left( {\sin ^2 \phi +\cos ^2 \phi } \right)} \right)$