10.1 – Ladung im elektrischen Feld

 

Geladene Teilchen (Ladung q, Masse m) treten zum Zeitpunkt t = 0 am Ort x = y = 0 in einen Plattenkondensator ein. Geschwindigkeit:

\vec v = v_0 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)

  1. An die Platten wird ein elektrisches Feld der Form \vec E = E_0 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) angelegt. Berechnen Sie die Parameterdarstellung \left(x\left(t\right) und y\left(t\right)\right) der Bahnkurve im Kondensator.
  2. Welche Bahnkurve y = f\left(x\right) ergibt sich?

Lösung

a )

Wir beginnen mit der Differentialgleichung der Bewegung in x- und y-Richtung:

x-Komponente:

F_x = m \cdot a

0 = m \cdot \ddot x\quad |:m

\ddot x = 0

\dot x = C_0

x = C_0 \cdot t+C_1

\dot x\left( 0 \right) = v_0 \quad \Rightarrow \quad C_0 = v_0

x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_1 = 0

x\left( t \right) = v_0 \cdot t

y-Komponente:

F_y = m \cdot a

E_0 \cdot q-m \cdot g = m \cdot \ddot y\quad |:m

\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g = \ddot y

\dot y = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot t+C_2

y = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot \frac{{t^2 }} {2}+C_2 \cdot t+C_3

\dot y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_2 = 0

y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_3 = 0

y\left( t \right) = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot \frac{{t^2 }} {2}

b )

x\left( t \right) = v_0 \cdot t

Umgestellt nach t ergibt sich:

t = \frac{x} {{v_0 }}

Eingesetzt in die Gleichung für y\left(x\right) ergibt:

y\left( x \right) = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot \frac{{\left( {\frac{x} {{v_0 }}} \right)^2 }} {2} = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot \frac{{x^2 }} {{2 \cdot v_0^2 }}

y\left( x \right) \sim x^2

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