10.1 – Ladung im elektrischen Feld

Geladene Teilchen (Ladung $q$ , Masse $m$ ) treten zum Zeitpunkt $t = 0$ am Ort $x = y = 0$ in einen Plattenkondensator ein. Geschwindigkeit:

$\vec v = v_0 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)$

An die Platten wird ein elektrisches Feld der Form $\vec E = E_0 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right)$ angelegt. Berechnen Sie die Parameterdarstellung $\left(x\left(t\right) und y\left(t\right)\right)$ der Bahnkurve im Kondensator.
Welche Bahnkurve $y = f\left(x\right)$ ergibt sich?

Lösung

a )

Wir beginnen mit der Differentialgleichung der Bewegung in x- und y-Richtung:

x-Komponente:

$F_x = m \cdot a$

$0 = m \cdot \ddot x\quad |:m$

$\ddot x = 0$

$\dot x = C_0$

$x = C_0 \cdot t+C_1$

$\dot x\left( 0 \right) = v_0 \quad \Rightarrow \quad C_0 = v_0$

$x\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_1 = 0$

$x\left( t \right) = v_0 \cdot t$

y-Komponente:

$F_y = m \cdot a$

$E_0 \cdot q-m \cdot g = m \cdot \ddot y\quad |:m$

$\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g = \ddot y$

$\dot y = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot t+C_2$

$y = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot \frac{{t^2 }} {2}+C_2 \cdot t+C_3$

$\dot y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_2 = 0$

$y\left( 0 \right) = 0\quad \Rightarrow \quad C_3 = 0$

$y\left( t \right) = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot \frac{{t^2 }} {2}$

b )

$x\left( t \right) = v_0 \cdot t$

Umgestellt nach $t$ ergibt sich:

$t = \frac{x} {{v_0 }}$

Eingesetzt in die Gleichung für $y\left(x\right)$ ergibt:

$y\left( x \right) = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot \frac{{\left( {\frac{x} {{v_0 }}} \right)^2 }} {2} = \left( {\frac{{E_0 \cdot q}} {m}-g} \right) \cdot \frac{{x^2 }} {{2 \cdot v_0^2 }}$

$y\left( x \right) \sim x^2$

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