10.4 – elektrischer Schwingkreis

Gegeben ist eine Serienschaltung aus Widerstand $R$ , Induktivität $L$ und Kapazität $C$ (Siehe Skizze). Der Generator G lädt den Kondensator auf eine Anfangsamplitude $U_0$ auf, dann wird zum Zeitpunkt $t=0$ die Generatorspannung auf null gesetzt. Berechnen Sie den Spannungsverlauf $U\left(t\right)$ am Kondensator.

elektrischer Schwingkreis

Lösung

Für die Ladung des Kondensators gilt:

$Q = \int {I\:dt}$

$\dot Q = I$

$\ddot Q = \dot I$

Für die Spannungen gilt:

$U_R = I \cdot R$

$U_L = L \cdot \dot I$

$U_C = \frac{Q} {C}$

$\Rightarrow \dot U_C = \frac{{\dot Q}} {C}$

$\Rightarrow \dot Q = \underline {I = C \cdot \dot U_C }$

$\Rightarrow \underline {\dot I = C \cdot \ddot U_C }$

Alle Spannungen zusammen müssen in Summe 0 ergeben. Aufstellen der Differentialgleichung für $U$ durch ersetzen von $U$ und $I$ :

$U_R +U_L +U_C = 0$

$\Rightarrow I \cdot R+L \cdot \dot I+U_C = 0$

$\Rightarrow C \cdot \dot U_C \cdot R+L \cdot C \cdot \ddot U_C +U_C = 0\quad |:L\quad |:C$

$\Rightarrow \ddot U_C +\frac{R} {L} \cdot \dot U_C +\frac{1} {{LC}}U_C = 0$

Lösung über allgemeinen Lösungsansatz:

$x(t) = A \cdot e^{\lambda \cdot t}$

Hier speziell:

$U(t) = U_0 \cdot e^{\alpha \cdot t}$

$\dot U(t) = U_0 \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot t}$

$\ddot U(t) = U_0 \cdot \alpha ^2 \cdot e^{\alpha \cdot t}$

$\Rightarrow U_0 \cdot \alpha ^2 \cdot e^{\alpha \cdot t} +\frac{R} {L} \cdot U_0 \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot t} +\frac{1} {{LC}} \cdot U_0 \cdot e^{\alpha \cdot t} = 0\quad |:U_0 \quad |:e^{\alpha \cdot t}$