10.4 – elektrischer Schwingkreis

 

Gegeben ist eine Serienschaltung aus Widerstand R, Induktivität L und Kapazität C (Siehe Skizze). Der Generator G lädt den Kondensator auf eine Anfangsamplitude U_0 auf, dann wird zum Zeitpunkt t=0 die Generatorspannung auf null gesetzt. Berechnen Sie den Spannungsverlauf U\left(t\right) am Kondensator.

elektrischer Schwingkreis

Lösung

Für die Ladung des Kondensators gilt:

Q = \int {I\:dt}

\dot Q = I

\ddot Q = \dot I

Für die Spannungen gilt:

U_R = I \cdot R

U_L = L \cdot \dot I

U_C = \frac{Q} {C}

\Rightarrow \dot U_C = \frac{{\dot Q}} {C}

\Rightarrow \dot Q = \underline {I = C \cdot \dot U_C }

\Rightarrow \underline {\dot I = C \cdot \ddot U_C }

Alle Spannungen zusammen müssen in Summe 0 ergeben. Aufstellen der Differentialgleichung für U durch ersetzen von U und I:

U_R +U_L +U_C = 0

\Rightarrow I \cdot R+L \cdot \dot I+U_C = 0

\Rightarrow C \cdot \dot U_C \cdot R+L \cdot C \cdot \ddot U_C +U_C = 0\quad |:L\quad |:C

\Rightarrow \ddot U_C +\frac{R} {L} \cdot \dot U_C +\frac{1} {{LC}}U_C = 0

Lösung über allgemeinen Lösungsansatz:

x(t) = A \cdot e^{\lambda \cdot t}

Hier speziell:

U(t) = U_0 \cdot e^{\alpha \cdot t}

\dot U(t) = U_0 \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot t}

\ddot U(t) = U_0 \cdot \alpha ^2 \cdot e^{\alpha \cdot t}

\Rightarrow U_0 \cdot \alpha ^2 \cdot e^{\alpha \cdot t} +\frac{R} {L} \cdot U_0 \cdot \alpha \cdot e^{\alpha \cdot t} +\frac{1} {{LC}} \cdot U_0 \cdot e^{\alpha \cdot t} = 0\quad |:U_0 \quad |:e^{\alpha \cdot t}

\Rightarrow \alpha ^2 +\frac{R} {L} \cdot \alpha +\frac{1} {{LC}} = 0

\Rightarrow \alpha _{1,2} = -\frac{R} {2L} \pm \sqrt {\left( {\frac{R} {{2L}}} \right)^2 -\frac{1} {{LC}}}

Für denn 1. Fall, dass:
\frac{{R^2 }} {{4L^2 }} > \frac{1} {{LC}} gibt es 2 reelle Lösungen. Man spricht hier von starker Dämpfung.

Für den 2. Fall, dass:
\frac{{R^2 }} {{4L^2 }} < \frac{1} {{LC}} wird \alpha komplex. Man spricht hier von schwacher Dämpfung.

Durch Ersetzen können wir \alpha noch ein wenig umformen:

\tau = \frac{{2L}} {R}

w_F = \sqrt {\frac{1} {{LC}}-\frac{{R^2 }} {{4L^2 }}}

\Rightarrow \alpha = -\frac{1} {\tau } \pm i\:w_F