11 – Normen

Die drei Abbildungen

$\left\| {\: \cdot \:} \right\|_1 \quad \quad \left\| {\: \cdot \:} \right\|_2 \quad \quad \left\| {\: \cdot \:} \right\|_\infty :\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$

seien definiert durch

$\left\| v \right\|_1 : = \left| {v_1 } \right|+\left| {v_2 } \right|+\ldots +\left| {v_n } \right|$

$\left\| v \right\|_2 : = \sqrt {v_1 ^2 +v_2 ^2 +\ldots +v_n ^2 }$

$\left\| v \right\|_\infty : = \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots ,\left| {v_n } \right|} \right\}$

für

$v = \left( {v_1 ,\ldots ,v_n } \right) \in \mathbb{R}^n$

Wir wissen bereits, dass die Abbildung $\left\| {\: \cdot \:} \right\|_2$ , die auch $\left\| {\: \cdot \:} \right\|$ genannt wird, eine Norm auf dem Rⁿ ist. Zeigen Sie, dass dies auch auf die anderen beiden Abbildungen zutrifft.

Skizzieren Sie außerdem für n = 2 die Mengen

$\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|_1 = 1} \right\}$

$\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|_2 = 1} \right\}$

$\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|_\infty = 1} \right\}$

$\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|_1 = 2} \right\}$

in einem Koordinatensystem.

Lösung

Eine Norm berechnet normalerweise den “Abstand zum Ursprung”. Wir kennen bisher nur die Zweiernorm, die nach dem Satz des Pythagoras normiert:

$\left\| {x,y} \right\| = \sqrt {x^2 +y^2 }$

Für diese sind schon die folgenden Eigenschaften einer Norm gezeigt worden:

Positive Definitheit: $\left\| v \right\|_2 \geq 0,\quad \left\| v \right\|_2 = 0 \Rightarrow v = 0$

Linearität der Multiplikation mit Skalaren: $\left\| {\lambda \cdot v} \right\|_2 = \left| \lambda \right| \cdot \left\| v \right\|_2$

Dreiecksungleichung: $\left\| {v+w} \right\|_2 \leq \left\| v \right\|_2 +\left\| w \right\|_2$

Diese Eigenschaften müssen nun für die anderen beiden Normen bewiesen werden.

Einernorm

Positive Definitheit:

$\left\| v \right\|_1 \geq 0,\quad \left\| v \right\|_1 = 0 \Rightarrow v = 0$

ist erfüllt, da die Norm aus der Addition von Beträgen besteht, es gibt also keine negativen Werte in der Summe.

Linearität der Multiplikation mit Skalaren:

$\left\| {\lambda \cdot v} \right\|_1 = \left| {\lambda \cdot v_1 } \right|+\left| {\lambda \cdot v_2 } \right|+\ldots+\left| {\lambda \cdot v_n } \right|$

$= \left| \lambda \right| \cdot \left\| v \right\|_2$

Das Lambda wird vorgezogen, die Voraussetzung ist also erfüllt.

Dreiecksungleichung:

$\left\| {v+w} \right\|_2 = \underbrace {\left| {v_1 +w_1 } \right|}_{ \leq \left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|}+\underbrace {\left| {v_2 +w_2 } \right|}_{ \leq \left| {v_2 } \right|+\left| {w_2 } \right|}+\ldots+\underbrace {\left| {v_n +w_n } \right|}_{ \leq \left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|} \leq \left\| v \right\|_1 +\left\| w \right\|_1$

Ist erfüllt, da die Dreiecksungleichung auf die Teilsummen angewendet werden kann.

Maximumnorm

Positive Definitheit:

$\left\| v \right\|_\infty \geq 0,\quad \left\| v \right\|_\infty = 0 \Rightarrow v = 0$

Ist erfüllt, da Beträge verglichen werden. Wenn das Maximum 0 ist, so müssen alle Elemente des Vektors = 0 sein.

Linearität der Multiplikation mit Skalaren:

$\left\| {\lambda \cdot v} \right\|_\infty = \max \left\{ {\left| {\lambda \cdot v_1 } \right|,\left| {\lambda \cdot v_2 } \right|,\ldots,\left| {\lambda \cdot v_n } \right|} \right\} = \left| \lambda \right| \cdot \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|} \right\}$

$= \left| \lambda \right| \cdot \left\| v \right\|_\infty$

Der Faktor ist überall gleich und kann daher beim Vergleich vorgezogen werden.

Dreiecksungleichung:

$\left\| {v+w} \right\|_\infty = \max \left\{ {\underbrace {\left| {v_1 +w_1 } \right|}_{ \leq \left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|},\underbrace {\left| {v_2 +w_2 } \right|}_{ \leq \left| {v_2 } \right|+\left| {w_2 } \right|},\ldots,\underbrace {\left| {v_n +w_n } \right|}_{ \leq \left| {v_n } \right|+\left| {w_n } \right|}} \right\}$

$\leq \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|+\left| {w_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|+\left| {w_n } \right|} \right\}$

Wir definieren:

$M: = \max \left\{ {\left| {w_1 } \right|,\left| {w_2 } \right|,\ldots,\left| {w_n } \right|} \right\}$

Daraus folgt:

$\left\| {v+w} \right\|_\infty \leq \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|+\left| {w_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|+\left| {w_n } \right|} \right\}$

$\leq \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|+M,\left| {v_2 } \right|+M,\ldots,\left| {v_n } \right|+M} \right\} = M+\max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|} \right\}$

Wir setzen M wieder ein:

$\left\| {v+w} \right\|_\infty \leq M+\max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|} \right\}$

$= \max \left\{ {\left| {w_1 } \right|,\left| {w_2 } \right|,\ldots,\left| {w_n } \right|} \right\}+\max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|} \right\}$

Daher:

$\left\| {v+w} \right\|_\infty \leq \left\| v \right\|_\infty +\left\| w \right\|_\infty$

Wir zeichnen nun die geforderten Mengen in ein Koordinatensystem ein.

Einernorm:

Der Abstand vom Ursprung ist nicht wirklich immer 1, da nur die Summe der Koordinatenkomponenten 1 ergeben muss.

mit Zweiernorm:

Die Zweiernorm ergibt den Kreis, auf dem alle Punkte den Abstand 1 vom Ursprung haben.

mit Maximumnorm:

Es ergibt sich ein weiteres Rechteck, da das Maximum der Koordinatenkomponenten 1 sein soll.

Man kann also sagen, dass die Einernorm “größere” Werte für den gleichen Abstand misst, verglichen mit der Zweiernorm. Diese wiederum misst “größere” Werte als die Maximumnorm: