11 – Normen

 

Die drei Abbildungen

\left\| {\: \cdot \:} \right\|_1 \quad \quad \left\| {\: \cdot \:} \right\|_2 \quad \quad \left\| {\: \cdot \:} \right\|_\infty  :\mathbb{R}^n  \to \mathbb{R}

seien definiert durch

\left\| v \right\|_1 : = \left| {v_1 } \right|+\left| {v_2 } \right|+\ldots +\left| {v_n } \right|

\left\| v \right\|_2 : = \sqrt {v_1 ^2 +v_2 ^2 +\ldots +v_n ^2 }

\left\| v \right\|_\infty  : = \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots ,\left| {v_n } \right|} \right\}

für

v = \left( {v_1 ,\ldots ,v_n } \right) \in \mathbb{R}^n

Wir wissen bereits, dass die Abbildung \left\| {\: \cdot \:} \right\|_2, die auch \left\| {\: \cdot \:} \right\| genannt wird, eine Norm auf dem Rn ist. Zeigen Sie, dass dies auch auf die anderen beiden Abbildungen zutrifft.

Skizzieren Sie außerdem für n = 2 die Mengen

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|_1  = 1} \right\}

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|_2  = 1} \right\}

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|_\infty   = 1} \right\}

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|_1  = 2} \right\}

in einem Koordinatensystem.

Lösung

Eine Norm berechnet normalerweise den “Abstand zum Ursprung”. Wir kennen bisher nur die Zweiernorm, die nach dem Satz des Pythagoras normiert:

\left\| {x,y} \right\| = \sqrt {x^2 +y^2 }

Für diese sind schon die folgenden Eigenschaften einer Norm gezeigt worden:

Positive Definitheit: \left\| v \right\|_2  \geq 0,\quad \left\| v \right\|_2  = 0 \Rightarrow v = 0

Linearität der Multiplikation mit Skalaren: \left\| {\lambda  \cdot v} \right\|_2  = \left| \lambda  \right| \cdot \left\| v \right\|_2

Dreiecksungleichung: \left\| {v+w} \right\|_2  \leq \left\| v \right\|_2 +\left\| w \right\|_2

Diese Eigenschaften müssen nun für die anderen beiden Normen bewiesen werden.

Einernorm

Positive Definitheit:

\left\| v \right\|_1  \geq 0,\quad \left\| v \right\|_1  = 0 \Rightarrow v = 0

ist erfüllt, da die Norm aus der Addition von Beträgen besteht, es gibt also keine negativen Werte in der Summe.

Linearität der Multiplikation mit Skalaren:

\left\| {\lambda  \cdot v} \right\|_1  = \left| {\lambda  \cdot v_1 } \right|+\left| {\lambda  \cdot v_2 } \right|+\ldots+\left| {\lambda  \cdot v_n } \right|

= \left| \lambda  \right| \cdot \left\| v \right\|_2

Das Lambda wird vorgezogen, die Voraussetzung ist also erfüllt.

Dreiecksungleichung:

\left\| {v+w} \right\|_2  = \underbrace {\left| {v_1 +w_1 } \right|}_{ \leq \left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|}+\underbrace {\left| {v_2 +w_2 } \right|}_{ \leq \left| {v_2 } \right|+\left| {w_2 } \right|}+\ldots+\underbrace {\left| {v_n +w_n } \right|}_{ \leq \left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|} \leq \left\| v \right\|_1 +\left\| w \right\|_1

Ist erfüllt, da die Dreiecksungleichung auf die Teilsummen angewendet werden kann.

Maximumnorm

Positive Definitheit:

\left\| v \right\|_\infty   \geq 0,\quad \left\| v \right\|_\infty   = 0 \Rightarrow v = 0

Ist erfüllt, da Beträge verglichen werden. Wenn das Maximum 0 ist, so müssen alle Elemente des Vektors = 0 sein.

Linearität der Multiplikation mit Skalaren:

\left\| {\lambda  \cdot v} \right\|_\infty   = \max \left\{ {\left| {\lambda  \cdot v_1 } \right|,\left| {\lambda  \cdot v_2 } \right|,\ldots,\left| {\lambda  \cdot v_n } \right|} \right\} = \left| \lambda  \right| \cdot \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|} \right\}

= \left| \lambda  \right| \cdot \left\| v \right\|_\infty

Der Faktor ist überall gleich und kann daher beim Vergleich vorgezogen werden.

Dreiecksungleichung:

\left\| {v+w} \right\|_\infty   = \max \left\{ {\underbrace {\left| {v_1 +w_1 } \right|}_{ \leq \left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|},\underbrace {\left| {v_2 +w_2 } \right|}_{ \leq \left| {v_2 } \right|+\left| {w_2 } \right|},\ldots,\underbrace {\left| {v_n +w_n } \right|}_{ \leq \left| {v_n } \right|+\left| {w_n } \right|}} \right\}

\leq \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|+\left| {w_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|+\left| {w_n } \right|} \right\}

Wir definieren:

M: = \max \left\{ {\left| {w_1 } \right|,\left| {w_2 } \right|,\ldots,\left| {w_n } \right|} \right\}

Daraus folgt:

\left\| {v+w} \right\|_\infty   \leq \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|+\left| {w_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|+\left| {w_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|+\left| {w_n } \right|} \right\}

\leq \max \left\{ {\left| {v_1 } \right|+M,\left| {v_2 } \right|+M,\ldots,\left| {v_n } \right|+M} \right\} = M+\max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|} \right\}

Wir setzen M wieder ein:

\left\| {v+w} \right\|_\infty   \leq M+\max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|} \right\}

= \max \left\{ {\left| {w_1 } \right|,\left| {w_2 } \right|,\ldots,\left| {w_n } \right|} \right\}+\max \left\{ {\left| {v_1 } \right|,\left| {v_2 } \right|,\ldots,\left| {v_n } \right|} \right\}

Daher:

\left\| {v+w} \right\|_\infty   \leq \left\| v \right\|_\infty  +\left\| w \right\|_\infty

Wir zeichnen nun die geforderten Mengen in ein Koordinatensystem ein.

Einernorm:

Der Abstand vom Ursprung ist nicht wirklich immer 1, da nur die Summe der Koordinatenkomponenten 1 ergeben muss.

mit Zweiernorm:

Die Zweiernorm ergibt den Kreis, auf dem alle Punkte den Abstand 1 vom Ursprung haben.

mit Maximumnorm:

Es ergibt sich ein weiteres Rechteck, da das Maximum der Koordinatenkomponenten 1 sein soll.

Man kann also sagen, dass die Einernorm “größere” Werte für den gleichen Abstand misst, verglichen mit der Zweiernorm. Diese wiederum misst “größere” Werte als die Maximumnorm:

\left\| v \right\|_1  \geq \left\| v \right\|_2  \geq \left\| v \right\|_\infty

Die Normen sind aufgrund dieser Vergleichbarkeit äquivalent.

Allgemein spricht man von einer n-Norm.

\left\| v \right\|_n : = \sqrt[n]{{v_1 ^n +v_2 ^n +\ldots+v_n ^n }}

Im Koordinatensystem sieht das so aus:

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