11.1 – Schwingung einer Kugel in einer Flüssigkeit

Eine Kugel (Radius $R$ , Masse $M$ ), die an deiner Feder (Federkonstante $C$ ) hängt, ist vollständig in eine Flüssigkeit der Viskosität $\eta$ eingetaucht. Die Kugel wird in vertikale Schwingung versetzt (z-Richtung). Bei der Bewegung der Kugel in der Flüssigkeit tritt eine Reibungskraft der Form $F = k \cdot v$ auf.

Berechnen Sie den Verlauf der Schwingungsamplitude als Funktion der Zeit
Nach welcher Zeit ist die Amplitude auf den $1/e$ -fachen Wert der Anfangsamplitude $A_0$ abgesunken?
Wie ändert sich für ein gedämpftes Federpendel die Energie als Funktion der Zeit?
Bestimmen Sie aus dem Experiment (Frage b) die Viskosität $\eta$ der Flüssigkeit. Benutzen Sie das Stokes’ Gesetz: $F_{Stokes} = 6\:\pi \:\eta \:R \cdot v\left( t \right)$

Lösung

a )

Als Ansatz verwenden wir hier das 2. Newton’sche Axiom:

$F = m \cdot a = m \cdot \ddot z$

In diesem Fall setzt sich die Kraft $F$ zusammen aus der Gewichtskraft der Kugel, der Auftriebskraft durch die Flüssigkeit sowie der Federkraft und der Reibungskraft:

Kräfte an der Kugel

Bewegt sich die Kugel nun aus der Ruhelage in Richtung z, so gilt:

$m \cdot \ddot z = F_G -F_A -F_R -F_F$

Für die einzelnen Kräfte gelten die Beziehungen:

$F_G = m \cdot g = \rho _K \cdot V \cdot g$

$F_A = \rho _F \cdot V \cdot g$

$F_R = k \cdot v = k \cdot \dot z$

$F_F = C \cdot z$

Zur Vereinfachung nehmen wir an, dass die Dichte der Kugel genau so groß ist, wie die Dichte der Flüssigkeit, ansonsten würde die Kugel in der Flüssigkeit nach unten sinken oder auftauchen:

Kugel in Flüssigkeit

Damit vereinfacht sich die Gleichung:

$m\cdot\ddot z = F_G -F_A -F_R -F_F$

$m\cdot\ddot z = \underbrace {\left( {\rho _K -\rho _F } \right)}_0 \cdot V \cdot g-k \cdot \dot z-C \cdot z$

$m\cdot\ddot z = -k \cdot \dot z-C \cdot z$

$m\cdot\ddot z+k \cdot \dot z+C \cdot z = 0$

Nun haben wir also eine Differentialgleichung. Die Lösung erhalten wir über folgenden (komplexen) Ansatz:

$z\left( t \right) = A \cdot e^{i\omega t}$

$\Rightarrow \dot z\left( t \right) = A \cdot i\omega \cdot e^{i\omega t}$

$\Rightarrow \ddot z\left( t \right) = -A \cdot \omega ^2 \cdot e^{i\omega t}$

Durch Einsetzen folgt:

$0 = m\cdot\ddot z+k \cdot \dot z+C \cdot z$

$0 = -m \cdot A \cdot \omega ^2 \cdot e^{i\omega t} +k \cdot A \cdot i\omega \cdot e^{i\omega t} +C \cdot A \cdot e^{i\omega t} \quad |:\left( {A \cdot e^{i\omega t} } \right)$

$0 = -m \cdot \omega ^2 +k \cdot i\omega +C$

$0 = \omega ^2 -\frac{{k \cdot i}} {m}\omega -\frac{C} {m}$

Diese Gleichung können wir mit Hilfe der “p-q-Formel” lösen:

$\omega _{1,2} = \frac{{k \cdot i}} {{2m}} \pm \sqrt {\left( {-\frac{{k \cdot i}} {{2m}}} \right)^2 +\frac{C} {m}}$

$\Rightarrow \omega _{1,2} = \frac{{k \cdot i}} {{2m}} \pm \underbrace {\sqrt {\frac{C} {m}-\frac{{k^2 }} {{4m^2 }}} }_{\Omega ^2 }$

$\Rightarrow \omega _{1,2} = \frac{{k \cdot i}} {{2m}} \pm \Omega$

Einsetzen in den Ansatz:

$z\left( t \right) = A \cdot e^{i\omega t}$

$= A \cdot e^{it\left( {\frac{{k \cdot i}} {{2m}} \pm \Omega } \right)}$

$= A \cdot e^{-\frac{{t \cdot k}} {{2m}}} \cdot e^{ \pm i\Omega t}$

Nun vereinfachen wir den Ausdruck noch ein wenig mit Hilfe der Eulerschen Formel:

$e^{i\Omega t} = \cos \left( {\Omega t} \right)+i\sin \left( {\Omega t} \right)$

$e^{-i\Omega t} = \cos \left( {\Omega t} \right)-i\sin \left( {\Omega t} \right)$

Die Allgemeine Lösung erhalten wir über die Summe der beiden Partikulärlösungen:

$e^{ \pm i\Omega t} = 2\cos \left( {\Omega t} \right)$

Daraus ergibt sich für z nun:

$z\left( t \right) = A \cdot e^{-\frac{{t \cdot k}} {{2m}}} \cdot 2\cos \left( {\Omega t} \right)$

Setzen wir nun noch als Anfangsbedingung $z = z_0$ bei $t = 0$ , so bekommen wir:

$z\left( t \right) = z_0 \cdot e^{-\frac{{t \cdot k}} {{2m}}} \cdot \cos \left( {\Omega t} \right)$

Die 2 vor dem cos wurde hier gleich mit in das $z_0$ integriert. Jetzt kann man durch Ersetzen des Exponenten auch diesen noch ein wenig zusammenfassen:

$\beta = \frac{k} {{2m}}$

$z\left( t \right) = z_0 \cdot e^{-\beta t} \cdot \cos \left( {\Omega t} \right)$

b )

Die Amplitude der Funktion wird bestimmt durch den Term:

$z_0 \cdot e^{-\beta t}$

Gedämpfte Schwingung

Es muss daher für $t$ von $1/e$ gelten:

$z_0 \cdot e^{-\beta t_{\left( {1/e} \right)}} = z_0 \cdot \frac{1} {e}$

$e^{-\beta t_{\left( {1/e} \right)}} = \frac{1} {e}$

$-\beta t_{\left( {1/e} \right)} = \ln \left( {\frac{1} {e}} \right) = \ln \left( 1 \right)-\ln \left( e \right) = 0-1 = -1$

$-\beta t_{\left( {1/e} \right)} = -1$

$\beta = \frac{1} {t_{\left( {1/e} \right)}}$

$\frac{{2m}} {k} = t_{\left( {1/e} \right)}$

c )

Für die Energie einer Feder gilt folgende Formel:

$E_F = \frac{1} {2} \cdot C \cdot \left( {Amplitude} \right)^2$

In unserem Fall also:

$E_F = \frac{1} {2} \cdot C \cdot \left( {z_0 \cdot e^{-\beta t} } \right)^2$

$E_F = \frac{1} {2} \cdot C \cdot z_0 ^2 \cdot e^{-2\beta t}$

$E_F = \frac{1} {2} \cdot C \cdot z_0 ^2 \cdot e^{-\frac{{t \cdot k}} {m}}$

d )

Das Gesetz von Stokes beschreibt die Abhängigkeit der Reibungskraft kugelförmiger Körper von ihrem Radius, der Viskosität des Flüssigkeit, in der sich das Objekt befindet, und der Geschwindigkeit des Objektes.

$F_{Stokes}$ bezeichnet also ebenso wie $F_R$ die Reibungskraft der Kugel in der Flüssigkeit. Daher setzen wir diese beiden Kräfte nun gleich: