11.2 – Kondensatorpendel

 

Eine negativ geladene Masse ist mit einer Feder (Federkonstante C) zwischen zwei Kondensatorplatten aufgehängt (siehe Skizze). An die Kondensatorplatten kann eine Wechselspannung angelegt werden, wodurch die Masse im Takt der Wechselspannung abwechselnd mit der Kraft F = F_0 \cdot \sin\left(\omega t\right) nach oben und nach unten gezogen wird. Sie erhalten die Bewegungsgleichung einer erzwungenen Schwingung (mit Dämpfung) der Form:

\ddot z+k \cdot \dot z+\frac{c} {m} \cdot z = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t} \right)

Kondensatorpendel

Nach einer Einschwingzeit oszilliert die Masse mit der gleichen Frequenz, wie die äußere Kraft, es besteht jedoch eine Phasenverschiebung \varphi zwischen F\left(t\right) und z\left(t\right).

  1. Verwenden Sie den Ansatz z = z_0 \cdot \sin \left( {\omega t + \varphi} \right) und berechnen Sie die Phasenverschiebung.
  2. Berechnen Sie die Amplitude z_0.

Lösung

a )

Für die Bestimmung der Phasenverschiebung müssen wir den Ansatz in die Differentialgleichung einsetzen. Dafür müssen wir die Ableitungen des Ansatzes bestimmen:

z = z_0 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right)

\dot z = z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t+\varphi } \right)

\ddot z = -z_0 \cdot \omega ^2 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right)

Damit folgt:

\ddot z+k \cdot \dot z+\frac{c} {m} \cdot z = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t} \right)

\Rightarrow -z_0 \cdot \omega ^2 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right)+k \cdot z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t+\varphi } \right)+\frac{c} {m} \cdot z_0 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right) = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t} \right)

\Rightarrow \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right) \cdot z_0 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right)+k \cdot z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t+\varphi } \right) = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t} \right)

Um uns die Folgende Rechnung zu erleichtern machen wir uns folgenden Zusammenhang klar. Und zwar können wir die Funktion anstatt zu einem Zeitpunkt t mit der Phasenverschiebung \varphi auch zu einem anderen Zeitpunkt t^\prime betrachten, zu dem diese Phasenverschiebung schon stattgefunden hat (Also eine einfache Umbenennung der Variablen):

\Rightarrow \omega t+\varphi = \omega t ^{\prime}

\Rightarrow \omega t = \omega t ^{\prime}-\varphi

Eingesetzt folgt nun:

\Rightarrow \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right) \cdot z_0 \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)+k \cdot z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right) = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}-\varphi } \right)

Zum Weiterrechnen nutzen wir nun eine der folgenden Umformungen:

\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta

\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta

Heißt für unsere Gleichung also:

\sin \left( {\omega t ^{\prime}-\varphi } \right) = \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\cos \varphi -\cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\sin \varphi

\Rightarrow \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right) \cdot z_0 \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)+k \cdot z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)

= \frac{{F_0 }} {m} \cdot \left( {\sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\cos \varphi -\cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\sin \varphi } \right)

\Rightarrow \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)+kz_0 \omega \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)

= \frac{{F_0 }} {m}\cos \varphi \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)-\frac{{F_0 }} {m}\sin \varphi \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)

Im nächsten Schritt führen wir einen Koeffizientenvergleich durch, aus dem folgt:

I:\quad \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right) = \frac{{F_0 }} {m}\cos \varphi \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)

\Rightarrow \quad \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 = \frac{{F_0 }} {m}\cos \varphi

II:\quad kz_0 \omega \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right) = -\frac{{F_0 }} {m}\sin \varphi \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\quad \Rightarrow \quad -k\:z_0 \omega = \frac{{F_0 }} {m}\sin \varphi

Da uns z_0 nicht bekannt ist, fügen wir die beiden Gleichungen zusammen, indem wir II durch I teilen:

\frac{{II}} {I}:\quad -\frac{{k\omega }} {{\frac{c} {m}-\omega ^2 }} = \frac{{\sin \varphi }} {{\cos \varphi }} = \tan \varphi

\Rightarrow arctan\left( {-\frac{{k\omega }} {{\frac{c} {m}-\omega ^2 }}} \right) = \varphi

b )

Wir wollen nun die Amplitude der Funktion berechnen. Diese ist allerdings nicht von der Phasenverschiebung abhängig, weshalb wir \varphi am Besten aus der Gleichung eliminieren sollten. Dabei hilft uns folgende Gleichung weiter:

\sin ^2 \varphi +\cos ^2 \varphi = 1

Formen wir also die Gleichungen I und II um:

I:\quad \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 = \frac{{F_0 }} {m}\cos \varphi \quad \Rightarrow \quad \frac{{\left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 m}} {{F_0 }} = \cos \varphi

II:\quad -k\:z_0 \omega = \frac{{F_0 }} {m}\sin \varphi \quad \Rightarrow \quad -\frac{{k\:z_0 \omega m}} {{F_0 }} = \sin \varphi

\sin ^2 \varphi +\cos ^2 \varphi = 1

\Rightarrow \left( {-\frac{{k\:z_0 \omega m}} {{F_0 }}} \right)^2 +\left( {\frac{{\left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 m}} {{F_0 }}} \right)^2 = 1

\Rightarrow \frac{{\left( {k\omega } \right)^2 +\left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)^2 }} {{F_0 ^2 }} \cdot m^2 \cdot z_0 ^2 = 1

\Rightarrow z_0 = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \frac{1} {{\sqrt {\left( {k\omega } \right)^2 +\left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)^2 } }}