11.2 – Kondensatorpendel

Eine negativ geladene Masse ist mit einer Feder (Federkonstante $C$ ) zwischen zwei Kondensatorplatten aufgehängt (siehe Skizze). An die Kondensatorplatten kann eine Wechselspannung angelegt werden, wodurch die Masse im Takt der Wechselspannung abwechselnd mit der Kraft $F = F_0 \cdot \sin\left(\omega t\right)$ nach oben und nach unten gezogen wird. Sie erhalten die Bewegungsgleichung einer erzwungenen Schwingung (mit Dämpfung) der Form:

$\ddot z+k \cdot \dot z+\frac{c} {m} \cdot z = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t} \right)$

Kondensatorpendel

Nach einer Einschwingzeit oszilliert die Masse mit der gleichen Frequenz, wie die äußere Kraft, es besteht jedoch eine Phasenverschiebung $\varphi$ zwischen $F\left(t\right)$ und $z\left(t\right)$ .

Verwenden Sie den Ansatz $z = z_0 \cdot \sin \left( {\omega t + \varphi} \right)$ und berechnen Sie die Phasenverschiebung.
Berechnen Sie die Amplitude $z_0$ .

Lösung

a )

Für die Bestimmung der Phasenverschiebung müssen wir den Ansatz in die Differentialgleichung einsetzen. Dafür müssen wir die Ableitungen des Ansatzes bestimmen:

$z = z_0 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right)$

$\dot z = z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t+\varphi } \right)$

$\ddot z = -z_0 \cdot \omega ^2 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right)$

Damit folgt:

$\ddot z+k \cdot \dot z+\frac{c} {m} \cdot z = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t} \right)$

$\Rightarrow -z_0 \cdot \omega ^2 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right)+k \cdot z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t+\varphi } \right)+\frac{c} {m} \cdot z_0 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right) = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t} \right)$

$\Rightarrow \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right) \cdot z_0 \cdot \sin \left( {\omega t+\varphi } \right)+k \cdot z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t+\varphi } \right) = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t} \right)$

Um uns die Folgende Rechnung zu erleichtern machen wir uns folgenden Zusammenhang klar. Und zwar können wir die Funktion anstatt zu einem Zeitpunkt $t$ mit der Phasenverschiebung $\varphi$ auch zu einem anderen Zeitpunkt $t^\prime$ betrachten, zu dem diese Phasenverschiebung schon stattgefunden hat (Also eine einfache Umbenennung der Variablen):

$\Rightarrow \omega t+\varphi = \omega t ^{\prime}$

$\Rightarrow \omega t = \omega t ^{\prime}-\varphi$

Eingesetzt folgt nun:

$\Rightarrow \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right) \cdot z_0 \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)+k \cdot z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right) = \frac{{F_0 }} {m} \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}-\varphi } \right)$

Zum Weiterrechnen nutzen wir nun eine der folgenden Umformungen:

$\sin \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\cos \left( {\alpha \pm \beta } \right) = \cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$

Heißt für unsere Gleichung also:

$\sin \left( {\omega t ^{\prime}-\varphi } \right) = \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\cos \varphi -\cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\sin \varphi$

$\Rightarrow \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right) \cdot z_0 \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)+k \cdot z_0 \cdot \omega \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)$

$= \frac{{F_0 }} {m} \cdot \left( {\sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\cos \varphi -\cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\sin \varphi } \right)$

$\Rightarrow \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)+kz_0 \omega \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)$

$= \frac{{F_0 }} {m}\cos \varphi \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)-\frac{{F_0 }} {m}\sin \varphi \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)$

Im nächsten Schritt führen wir einen Koeffizientenvergleich durch, aus dem folgt:

$I:\quad \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right) = \frac{{F_0 }} {m}\cos \varphi \cdot \sin \left( {\omega t ^{\prime}} \right)$

$\Rightarrow \quad \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 = \frac{{F_0 }} {m}\cos \varphi$

$II:\quad kz_0 \omega \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right) = -\frac{{F_0 }} {m}\sin \varphi \cdot \cos \left( {\omega t ^{\prime}} \right)\quad \Rightarrow \quad -k\:z_0 \omega = \frac{{F_0 }} {m}\sin \varphi$

Da uns $z_0$ nicht bekannt ist, fügen wir die beiden Gleichungen zusammen, indem wir II durch I teilen:

$\frac{{II}} {I}:\quad -\frac{{k\omega }} {{\frac{c} {m}-\omega ^2 }} = \frac{{\sin \varphi }} {{\cos \varphi }} = \tan \varphi$

$\Rightarrow arctan\left( {-\frac{{k\omega }} {{\frac{c} {m}-\omega ^2 }}} \right) = \varphi$

b )

Wir wollen nun die Amplitude der Funktion berechnen. Diese ist allerdings nicht von der Phasenverschiebung abhängig, weshalb wir $\varphi$ am Besten aus der Gleichung eliminieren sollten. Dabei hilft uns folgende Gleichung weiter:

$\sin ^2 \varphi +\cos ^2 \varphi = 1$

Formen wir also die Gleichungen I und II um:

$I:\quad \left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 = \frac{{F_0 }} {m}\cos \varphi \quad \Rightarrow \quad \frac{{\left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 m}} {{F_0 }} = \cos \varphi$

$II:\quad -k\:z_0 \omega = \frac{{F_0 }} {m}\sin \varphi \quad \Rightarrow \quad -\frac{{k\:z_0 \omega m}} {{F_0 }} = \sin \varphi$

$\sin ^2 \varphi +\cos ^2 \varphi = 1$

$\Rightarrow \left( {-\frac{{k\:z_0 \omega m}} {{F_0 }}} \right)^2 +\left( {\frac{{\left( {\frac{c} {m}-\omega ^2 } \right)z_0 m}} {{F_0 }}} \right)^2 = 1$