01.2 – Zeitliche Ableitung eines Vektors

Zeigen Sie, dass die zeitliche Ableitung eines Vektors konstanter Länge senkrecht auf dem ursprünglichen Vektor steht.

Lösung

Wenn der Vektor eine konstante Länge hat, heißt das, dass der Betrag konstant ist:

$\vec r = const\quad \Rightarrow \quad \left| {\vec r} \right| = const$

Es gilt daher:

$\left| {\vec r} \right| = const\quad \Rightarrow \quad \sqrt {\vec r \cdot \vec r} = const\quad \Rightarrow \quad \vec r \cdot \vec r = const$

Es wird anschließend abgeleitet. Hierfür benutzt man die Produktregel. Die Konstante abgeleitet wird zu 0.

$\vec r \cdot \vec r = const\quad |ableiten$

$\Rightarrow \quad \dot {\vec r} \cdot \vec r+\vec r \cdot \dot {\vec r} = 0$

$\Rightarrow \quad 2 \cdot \left( {\dot {\vec r} \cdot \vec r} \right) = 0\quad |:2$

$\Rightarrow \quad \dot {\vec r} \cdot \vec r = 0$

Hieraus folgt, dass der Vektor senkrecht zu seiner Ableitung stehen muss.