01.3 – Bewegung eines Rades

 

bewegung-rad

Ein Rad mit Radius r rollt mit der konstanten Geschwindigkeit des Mittelpunktes v=(1, 0) auf der x-Achse. Zum Zeitpunkt t=0 hat der Punkt P, der fest auf dem Rand des Rades ist, die Koordinaten (0, 2r).

  1. Wie groß ist die Winkelgeschwindigkeit ω, wenn das Rad mit der Geschwindigkeit v rollt?
  2. Welche Bahnkurve \vec r\left( t \right) beschreibt der Punkt P (gesucht sind x(t) und y(t))?

Lösung

a )

Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt den Winkel, der in einem bestimmten Zeitintervall zurückgelegt wird:

\omega = \frac{\phi } {t}

Es gilt weiterhin:

\omega = \frac{v} {r}

Gleichsetzen:

\frac{\phi } {t} = \frac{v} {r}\quad \Rightarrow \quad \frac{{2\pi }} {T} = \frac{v} {r}\quad \Rightarrow \quad v = \frac{{2\pi \cdot r}} {T} = 2\pi \cdot r \cdot f

b )

Um die Bewegung des Punktes P zu beschreiben, betrachten wir zunächst die Bewegung des Mittelpunktes:

\dot{ \vec r}_m = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} v_0 \\ 0 \\ \end{array} } \right)

Aufgeleitet:

\vec r_m = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} v_0 \cdot t+c_1 \\ c_2 \\ \end{array} } \right)

Bestimmung von c mit Hilfe der Rahmenbedingungen:

\vec r_m \left( 0 \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ r \\ \end{array} } \right)\quad \Rightarrow \quad \vec r_m = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} v_0 \cdot t \\ r \\ \end{array} } \right)

Bewegung von P bezüglich des Mittelpunktes

\vec r_M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} r \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \\ r \cdot \cos \left( {\omega t} \right) \\ \end{array} } \right)

Die beiden Bewegungen überlagern sich ungestört, sie werden daher addiert:

\vec r = \vec r_m +\vec r_M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} v_0 \cdot t \\ r \\ \end{array} } \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}} r \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \\ r \cdot \cos \left( {\omega t} \right) \\ \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} v_0 \cdot t+r \cdot \sin \left( {\omega t} \right) \\ r+r \cdot \cos \left( {\omega t} \right) \\ \end{array} } \right)

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