17 – Folgen und die Geometrische Reihe

 

Betrachten Sie die rekursiv definierte Folge (an)n mit

a_0 = 1

a_1 = \frac{1}{2}

a_{n+2} = \frac{a_n +a_{n+1} }{2}

n \in \mathbb{N}

Zeigen Sie, dass (an)n konvergiert und berechnen Sie den Grenzwert.
(Hinweis: Man kann die Folge als geometrische Reihe schreiben)

Lösung

Wir betrachten zunächst die Werte für die ersten Folgeglieder von (an)n:

a_0 = 1

a_1 = \frac{1} {2}

a_2 = \frac{3} {4}

a_3 = \frac{5} {8}

a_4 = \frac{{11}} {{16}}

Die Folgeglieder kann man auch schreiben als:

a_0 = 1 = 1

a_1 = \frac{1} {2} = 1-\frac{1} {2}

a_2 = \frac{3} {4} = 1-\frac{1} {2}+\frac{1} {4}

a_3 = \frac{5} {8} = 1-\frac{1} {2}+\frac{1} {4}-\frac{1} {8}

a_4 = \frac{{11}} {{16}} = 1-\frac{1} {2}+\frac{1} {4}-\frac{1} {8}+\frac{1} {{16}}

Diese Summen kann man mit dem Summenzeichen ausdrücken:

a_n = \sum {\left( {-\frac{1} {2}} \right)^n }

Der Grenzwert dieser Summe ist bekannt, da es sich um eine Geometrische Reihe handelt:

\sum {\left( {-\frac{1} {2}} \right)^n } = \frac{1} {{1-\left( {-\frac{1} {2}} \right)}} = \frac{2} {3}

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3 Kommentare zu “17 – Folgen und die Geometrische Reihe”

Konertz
28. 07. 09 at 1:30 pm

Summe: 1+1/2+1/4+…+… hat den Grenzwert 2; nicht 2/3

admin
28. 07. 09 at 9:36 pm

Das stimmt. Hier geht es aber um den Grenzwert von Summe (-1/2)^n.

Der Lösungsweg war zugegebenermaßen kurzzeitig verfälscht, seit ich vor ein paar Tagen den neuen Tex-Formel-Parser installiert habe. Der hatte einfach alle Minuszeichen verschluckt :s

admin
18. 09. 09 at 9:13 pm

Das Problem ist nun gelöst, die Formeln stimmen wieder.

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