18 – Minorantenkriterium

 

Seien \sum\nolimits_n {a_n } und \sum\nolimits_n {b_n } Reihen mit 0 \leq a_n \leq b_n für alle n.

Zeigen Sie:

Wenn \sum\nolimits_n {a_n } divergiert, so divergiert auch \sum\nolimits_n {b_n }.

(Diese Tatsache ist auch als Minorantenkriterium bekannt.)

Lösung

Wenn gilt

\sum\nolimits_n {a_n } divergiert \Rightarrow \sum\nolimits_n {b_n } divergiert

so ist dies äquivalent zu der Aussage

\sum\nolimits_n {a_n } konvergiert \Leftarrow \sum\nolimits_n {b_n } konvergiert

(Begründung siehe unten)
Diese Aussage ist uns schon bekannt und zwar als das Majorantenkriterium. Dass dieses gilt, wurde in der Vorlesung Analysis 1 bewiesen.

Da nun also diese Aussage gilt und sie äquivalent ist zu

\sum\nolimits_n {a_n } divergiert \Rightarrow \sum\nolimits_n {b_n } divergiert

gilt auch diese Aussage. Damit sind wir schon fertig und haben gezeigt, dass das Minorantenkriterium gilt.

Bezug zur Informatik

Wenn aus einer Aussage C, eine Aussage D folgt, so bedeutet dies: Wenn das Gegenteil von D gilt, so kann nicht C, sondern nur das Gegenteil von C gelten.

Mathematisch ausgedrückt:
Aus

C \Rightarrow D

folgt

\neg C \Leftarrow \neg D

Denn aus \neg D kann nicht C folgen, da sonst automatisch nach Vorraussetzung wieder D gelten würde.

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