18 – Minorantenkriterium

Seien $\sum\nolimits_n {a_n }$ und $\sum\nolimits_n {b_n }$ Reihen mit $0 \leq a_n \leq b_n$ für alle $n$ .

Zeigen Sie:

Wenn $\sum\nolimits_n {a_n }$ divergiert, so divergiert auch $\sum\nolimits_n {b_n }$ .

(Diese Tatsache ist auch als Minorantenkriterium bekannt.)

Lösung

Wenn gilt

$\sum\nolimits_n {a_n }$ divergiert $\Rightarrow$ $\sum\nolimits_n {b_n }$ divergiert

so ist dies äquivalent zu der Aussage

$\sum\nolimits_n {a_n }$ konvergiert $\Leftarrow$ $\sum\nolimits_n {b_n }$ konvergiert

(Begründung siehe unten)
Diese Aussage ist uns schon bekannt und zwar als das Majorantenkriterium. Dass dieses gilt, wurde in der Vorlesung Analysis 1 bewiesen.

Da nun also diese Aussage gilt und sie äquivalent ist zu

$\sum\nolimits_n {a_n }$ divergiert $\Rightarrow$ $\sum\nolimits_n {b_n }$ divergiert

gilt auch diese Aussage. Damit sind wir schon fertig und haben gezeigt, dass das Minorantenkriterium gilt.

Bezug zur Informatik

Wenn aus einer Aussage C, eine Aussage D folgt, so bedeutet dies: Wenn das Gegenteil von D gilt, so kann nicht C, sondern nur das Gegenteil von C gelten.

Mathematisch ausgedrückt:
Aus

$C \Rightarrow D$