19 – Konvergenz von Reihen

 

Man untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz:

  1. \sum\limits_n {\frac{{n^2 -10^6 }} {{\left( {n+10^3 } \right)^2 }}}
  2. \sum\limits_{n \geq 2} {\frac{1} {{n-n^2 }}}
  3. \sum\limits_n {\frac{{n+4}} {{n^2 +3}}}
  4. \sum\limits_n {\left( {-1} \right)^n \frac{{n+4}} {{n^2 +3}}}
  5. \sum\limits_n {\frac{{n^2 }} {{2^n }}}
  6. \sum\limits_{n \geq 1} {\frac{{n!}} {{n^n }}}

Lösung

a )

In der Summe erkennen wir die binomische Formel und stellen um. Anschließend wird gekürzt:

\sum\limits_n {\frac{{n^2 -10^6 }} {{\left( {n+10^3 } \right)^2 }}} = \sum\limits_n {\frac{{\left( {n+10^3 } \right)\left( {n-10^3 } \right)}} {{\left( {n+10^3 } \right)^2 }}} = \sum\limits_n {\frac{{n-10^3 }} {{n+10^3 }}}

Die Folge {\frac{{n-10^3 }}{{n+10^3 }}} konvergiert gegen 1. Damit die Reihe konvergiert, müsste es aber eine Nullfolge sein. Die Reihe ist somit divergent.

b )

\sum\limits_{n \geq 2} {\frac{1} {{n-n^2 }}}

Um die Betragsstriche weglassen zu können, betrachten wir die Folge

\frac{1} {{n^2 -n}}

da diese immer größer ist als 0. Es gilt:

\frac{1} {{n^2 -n}} = \frac{1} {n} \cdot \frac{1} {{n-1}}

Wir wenden das Majorantenkriterium an und betrachten die Folge

\frac{1} {{n-1}} \cdot \frac{1} {{n-1}} \geq \frac{1} {n} \cdot \frac{1} {{n-1}}

Die entstehende Reihe

\sum {\frac{1} {{n-1}} \cdot \frac{1} {{n-1}} = \sum {\frac{1} {{\left( {n-1} \right)^2 }}} }

ist konvergent, laut Majorantenkriterium daher auch die ursprüngliche Folge

\sum\limits_{n \geq 2} {\frac{1} {{n-n^2 }}}

c )

Wir betrachten die Reihe \sum\limits_n {\frac{n} {{n^2 }}} = \sum\limits_n {\frac{1} {n}}, deren Elemente immer kleiner sind als die der ursprünglichen Reihe (Zähler 4 kleiner aber Nenner nur 3 kleiner).
Selbst diese Reihe ist schon divergent. Daher divergiert nach dem Minorantenkriterium auch die Reihe \sum\limits_n {\frac{{n+4}} {{n^2 +3}}}.

d )

\sum\limits_n {\left( {-1} \right)^n \frac{{n+4}} {{n^2 +3}}}

Die Reihe ist nach dem Leibnitzkriterium konvergent, da sie alternierend ist und gegen 0 geht (da x2 immer größer ist als x).

e )

Diese Aufgabe lösen wir mit dem Quotientenkriterium. Es gilt, dass wenn

\frac{{a_{n+1} }} {{a_n }} < \delta \leq 1

dann ist die Reihe konvergent. Wir berechnen den Quotienten:

\frac{{\frac{{\left( {n+1} \right)^2 }} {{2^{n+1} }}}} {{\frac{{n^2 }} {{2^n }}}} = \frac{{\left( {n+1} \right)^2 }} {{2^{n+1} }} \cdot \frac{{2^n }} {{n^2 }} = \frac{{n^2 +2n+1}} {2} \cdot \frac{1} {{n^2 }} = \frac{{n^2 +2n+1}} {{2n^2 }} = \left( {\frac{{n+1}} {n}} \right)^2 \cdot \frac{1} {2}

Wertetabelle:

n = 1 \to \left( {\frac{{1+1}} {1}} \right)^2 \cdot \frac{1} {2} = 2

n = 2 \to \left( {\frac{{2+1}} {2}} \right)^2 \cdot \frac{1} {2} = \frac{9} {8}

n = 3 \to \left( {\frac{{3+1}} {3}} \right)^2 \cdot \frac{1} {2} = \frac{8} {9}

n = 4 \to \left( {\frac{{4+1}} {4}} \right)^2 \cdot \frac{1} {2} = \frac{{25}} {{32}}

Es ist also

\left( {\frac{{n+1}} {n}} \right)^2 \cdot \frac{1} {2} \leq \frac{8} {9} < 1,\forall n \geq 3

Das Quotientenkriterium ist erfüllt, die Reihe ist konvergent.

f )

Wir wenden hier das Quotientenkriterium an:

\frac{{\frac{{\left( {n+1} \right)!}} {{\left( {n+1} \right)^{n+1} }}}} {{\frac{{n!}} {{n^n }}}} = \frac{{\left( {n+1} \right)!}} {{\left( {n+1} \right)^{n+1} }} \cdot \frac{{n^n }} {{n!}} = \frac{{n! \cdot \left( {n+1} \right) \cdot n^n }} {{\left( {n+1} \right) \cdot \left( {n+1} \right)^n \cdot n!}} = \frac{{n^n }} {{\left( {n+1} \right)^n }}

Nun setzen wir Zahlen ein:

n = 1 \to \frac{{n^n }} {{\left( {n+1} \right)^n }} = \frac{{1^1 }} {{\left( {1+1} \right)^1 }} = \frac{1} {2}

n = 2 \to \frac{{n^n }} {{\left( {n+1} \right)^n }} = \frac{{2^2 }} {{\left( {2+1} \right)^2 }} = \frac{4} {9}

Es ist also

\frac{{n^n }} {{\left( {n+1} \right)^n }} \leq \frac{1} {2},\forall n \geq 1

Der Grenzwert kann auch genau berechnet werden:

\frac{{n^n }} {{\left( {n+1} \right)^n }} = \left( {\frac{n} {{n+1}}} \right)^n = \left( {\frac{{n+1-1}} {{n+1}}} \right)^n = \left( {\frac{{n+1}} {{n+1}}-\frac{1} {{n+1}}} \right)^n = \left( {1-\frac{1} {{n+1}}} \right)^n

= \left( {1+\frac{{-1}} {{n+1}}} \right)^n

Für große n können wir das n+1 durch n ersetzen und erhalten die Definition der Exponentialfunktion:

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {1+\frac{{-1}} {{n+1}}} \right)^n = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {1+\frac{{-1}} {n}} \right)^n = e^{-1}