2.2 – Radarschirm rotiert um zwei Achsen

 

Ein Radarschirm dreht sich mit verschiedenen konstanten Winkelgeschwindigkeiten um die raumfeste z-Achse und die horizontale Achse.

1. Man bestimme Geschwindigkeit und Beschleunigung des Antennenpunktes B.
2. Für welches Verhältnis \eta _{opt}  = \frac{{\omega _1 }} {{\omega _2 }} der Winkelgeschwindigkeiten ist der Betrag der Beschleunigung des Punktes B unabhängig von der Winkelstellung?

Gegeben: ω1, ω2, b

Radar

Lösung

a )

Bei diesem Problem wollen wir die Bewegung des Punktes B im Innertialsystem darstellen. D.h. in den raumfesten Basisvektoren \vec e_x ,\:\vec e_y ,\:\vec e_z. Zur Veranschaulichung nun erstmal 2 Zeichnungen:

Veranschaulichung

Veranschaulichung

Für die Koordinaten x, y, z des Punktes B gilt hier die Beziehung:

x = r\cos \psi \sin \phi \:\vec e_x

z = r\cos \psi \cos \phi \:\vec e_z

y = r\sin \psi \:\vec e_y

Somit gilt für den Vektor r zum Punkt B:

\vec r = r\cos \psi \sin \phi \:\vec e_x +r\cos \psi \cos \phi \:\vec e_z +r\sin \psi \:\vec e_y

= r\left( {\cos \psi \sin \phi \:\vec e_x +\cos \psi \cos \phi \:\vec e_z +\sin \psi \:\vec e_y } \right)

Zudem gilt für die Beiden eingezeichneten Winkel:
\phi  = \omega _1 \:t

\psi  = \omega _2 \:t

\dot \phi  = \omega _1

\dot \psi  = \omega _2

\ddot \phi  = 0

\ddot \psi  = 0

Als nächstes wollen wir die Geschwindigkeit des Punktes B bestimmen. Dazu leiten wir einfach den Richtungsvektor ab:

\dot {\vec r} = \vec v = r\left( {\left[ {-\dot \psi \sin \psi \sin \phi +\dot \phi \cos \psi \cos \phi } \right]\vec e_x +\left[ {-\dot \psi \sin \psi \cos \phi -\dot \phi \cos \psi \sin \phi } \right]\vec e_z +\left[ {\dot \psi \cos \psi } \right]\vec e_y } \right)

Da wir aber die Geschwindigkeit wollen und nicht den Vektor der Geschwindigkeit, müssen wir jetzt den Betrag des Geschwindigkeitsvektors berechnen. Dafür gilt die Formel:
\left| {\vec v} \right| = \sqrt {\dot x^2 +\dot y^2 +\dot z^2 }

Die Mittelteile der binomischen Formeln wurden direkt weggelassen, da sie indifferent sind und sich gegenseitig aufheben:

\left| {\vec v} \right| = r\sqrt {\left[ {-\dot \psi \sin \psi \sin \phi +\dot \phi \cos \psi \cos \phi } \right]^2 +\left[ {-\dot \psi \sin \psi \cos \phi -\dot \phi \cos \psi \sin \phi } \right]^2 +\left[ {\dot \psi \cos \psi } \right]^2 }

= r\sqrt {\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi \sin ^2 \phi +\dot \phi ^2 \cos ^2 \psi \cos ^2 \phi +\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi \cos ^2 \phi +\dot \phi ^2 \cos ^2 \psi \sin ^2 \phi +\dot \psi ^2 \cos ^2 \psi }

= r\sqrt {\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi \left( {\sin ^2 \phi +\cos ^2 \phi } \right)+\dot \phi ^2 \cos ^2 \psi \left( {\cos ^2 \phi +\sin ^2 \phi } \right)+\dot \psi ^2 \cos ^2 \psi }

= r\sqrt {\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi +\dot \phi ^2 \cos ^2 \psi +\dot \psi ^2 \cos ^2 \psi }

= r\sqrt {\dot \psi ^2 \left( {\sin ^2 \psi +\cos ^2 \psi } \right)+\dot \phi ^2 \cos ^2 \psi }

= r\sqrt {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 \cos ^2 \psi }

Als nächstes bestimmen wir den Beschleunigungsvektor durch Ableiten des Geschwindigkeitsvektors.
Die Produkte, die die zweite Ableitung der Winkel enthalten, wurden hier gleich weggelassen, da die Winkelbeschleunigungen gleich null sind:

\ddot {\vec r} = \dot {\vec v} = \vec a = r\left( {\left[ {-\dot \psi \:\dot \psi \cos \psi \sin \phi -\dot \psi \:\dot \phi \sin \psi \cos \phi -\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \cos \phi -\dot \phi \:\dot \phi \cos \psi \sin \phi } \right]\vec e_x } \right.+

\left. {+\left[ {-\dot \psi \:\dot \psi \cos \psi \cos \phi +\dot \psi \:\dot \phi \sin \psi \sin \phi +\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \sin \phi -\dot \phi \:\dot \phi \cos \psi \cos \phi } \right]\vec e_z -\left[ {\dot \psi \:\dot \psi \sin \psi } \right]\vec e_y } \right)

= r\left( {\left[ {-\dot \psi ^2 \cos \psi \sin \phi -\dot \psi \:\dot \phi \sin \psi \cos \phi -\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \cos \phi -\dot \phi ^2 \cos \psi \sin \phi } \right]\vec e_x +} \right.

\left. {+\left[ {-\dot \psi ^2 \cos \psi \cos \phi +\dot \psi \:\dot \phi \sin \psi \sin \phi +\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \sin \phi -\dot \phi ^2 \cos \psi \cos \phi } \right]\vec e_z -\left[ {\dot \psi ^2 \sin \psi } \right]\vec e_y } \right)

= r\left( {\left[ {-\dot \psi ^2 \cos \psi \sin \phi -2\:\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \cos \phi -\dot \phi ^2 \cos \psi \sin \phi } \right]\vec e_x } \right.+

\left. {+\left[ {-\dot \psi ^2 \cos \psi \cos \phi +2\:\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \sin \phi -\dot \phi ^2 \cos \psi \cos \phi } \right]\vec e_z -\left[ {\dot \psi ^2 \sin \psi } \right]\vec e_y } \right)

= r\left( {\left[ {-\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)\cos \psi \sin \phi -2\:\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \cos \phi } \right]\vec e} \right._x +

\left. {+\left[ {-\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)\cos \psi \cos \phi +2\:\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \sin \phi } \right]\vec e_z -\left[ {\dot \psi ^2 \sin \psi } \right]\vec e_y } \right)

Und nun berechnen wir den Betrag des Beschleunigungsvektors:

\left| {\vec a} \right| = r\sqrt {\left[ {-\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)\cos \psi \sin \phi -2\:\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \cos \phi } \right]^2 +\left[ {-\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)\cos \psi \cos \phi +2\:\dot \phi \:\dot \psi \sin \psi \sin \phi } \right]^2 +\left[ {\dot \psi ^2 \sin \psi } \right]^2 }

= r\sqrt {\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 \cos ^2 \psi \sin ^2 \phi +  4\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi \cos ^2 \phi +\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 \cos ^2 \psi \cos ^2 \phi +4\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi \sin ^2 \phi +\dot \psi ^4 \sin ^2 \psi }

= r\sqrt {\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 \cos ^2 \psi \left( {\sin ^2 \phi +\cos ^2 \phi } \right)+4\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi \left( {\cos ^2 \phi +\sin ^2 \phi } \right)+\dot \psi ^4 \sin ^2 \psi }

= r\sqrt {\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 \cos ^2 \psi +4\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi +\dot \psi ^4 \sin ^2 \psi }

Um nun noch weiter vereinfachen zu können muss ein kleiner Trick angewandt werden:
Wir teilen auf: 4\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi  = 2\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi +2\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi

Und wir ergänzen: +\dot \phi ^4 \sin ^2 \psi -\dot \phi ^4 \sin ^2 \psi

Somit sind wie gleich in der Lage, ein Binom zu erzeugen:

= r\sqrt {\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 \cos ^2 \psi +2\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi +\dot \psi ^4 \sin ^2 \psi +\dot \phi ^4 \sin ^2 \psi -\dot \phi ^4 \sin ^2 \psi +2\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi }

= r\sqrt {\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 \cos ^2 \psi +\left( {\dot \psi ^4 +\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 +\dot \phi ^4 } \right)\sin ^2 \psi -\dot \phi ^4 \sin ^2 \psi +2\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi }

= r\sqrt {\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 -\dot \phi ^4 \sin ^2 \psi +2\:\dot \phi ^2 \:\dot \psi ^2 \sin ^2 \psi }

= r\sqrt {\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 +\left( {-\dot \phi ^2 +2\:\dot \psi ^2 } \right)\dot \phi ^2 \:\sin ^2 \psi }

= r\sqrt {\left( {\dot \psi ^2 +\dot \phi ^2 } \right)^2 +\left( {2\:\dot \psi ^2 -\dot \phi ^2 } \right)\dot \phi ^2 \:\sin ^2 \psi }

Damit ist Teilaufgabe a) erledigt.

b )

Für Teilaufgabe b) ist gefragt, für welches Verhältnis

\eta _{opt}  = \frac{{\omega _1 }} {{\omega _2 }}

der Winkelgeschwindigkeiten der Betrag der Beschleunigung des Punktes B unabhängig von der Winkelstellung ist.

Um eine Unabhängigkeit von der Winkelstellung zu erreichen, muss der Term {\left( {2\:\dot \psi ^2 -\dot \phi ^2 } \right)\dot \phi ^2 \:\sin ^2 \psi } aus der gerade berechneten Gleichung (der ja den Winkel enthält) 0 ergeben.
Also:

\left( {2\:\dot \psi ^2 -\dot \phi ^2 } \right) = 0

2\:\dot \psi ^2  = \dot \phi ^2

2\: = \frac{{\dot \phi ^2 }} {{\dot \psi ^2 }}

\sqrt 2  = \frac{{\dot \phi }} {{\dot \psi }} = \frac{{\omega _1 }} {{\omega _2 }} = \eta _{opt}