20 – Beweis mit Cauchy-Produkt

 

Zeigen sie, dass für alle x ∈ R mit |x| < 1 gilt:

\frac{1} {{\left( {1-x} \right)^2 }} = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {k+1} \right)x^k }

Hinweis: Cauchy-Produkt

Lösung

Zum Cauchy-Produkt: Das Cauchy-Produkt ermöglicht die Multiplikation und Division unendlicher Reihen. Es gilt:

Sind (a_n) = \sum_{n=0}^\infty a_n und (b_n) = \sum_{n=0}^\infty b_n zwei absolut konvergente Reihen, so ist deren Produkt:

(a_n) \cdot (b_n) = (c_n) = \sum_{n=0}^\infty c_n

mit c_n = \sum_{k=0}^n {a_{k} b_{n-k}}

wiederum eine absolut konvergente Reihe.

Wir müssen also zeigen, dass die Reihe \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {k+1} \right)x^k } ein Produkt aus zwei anderen Reihen ist und dass das Produkt der Grenzwerte dieser beiden Reihen \frac{1} {{\left( {1-x} \right)^2 }} ist.

Im ersten Schritt überlegen wir, in was wir das Ergebnis zerlegen könnten. Es gilt:

\frac{1} {{\left( {1-x} \right)^2 }} = \left( {\frac{1} {{1-x}}} \right)^2 = \frac{1} {{1-x}} \cdot \frac{1} {{1-x}}

Das Ergebnis ist also das Produkt aus zwei Grenzwerten der Geometrischen Reihe:

\sum\limits_{n = 0}^\infty {q^k } = \frac{1} {{1-q}} für q < 1

Da der Grenzwert zwei Mal vorkommt, müssen also die beiden Reihen ak und bk beide = xk sein. Es muss folgendes gezeigt werden:

\sum\limits_{k = 0}^\infty {x^k } \cdot \sum\limits_{k = 0}^\infty {x^k } = \sum\limits_{k = 0}^\infty {\left( {k+1} \right)x^k }

Wir schreiben als Cauchy-Produkt:

\sum\limits_{k = 0}^\infty {x^k } \cdot \sum\limits_{k = 0}^\infty {x^k } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{k = 0}^n {x^k \cdot x^{n-k} } }

Die Summe aus dem Produkt xk · xn-k lässt sich weiter vereinfachen. Wir betrachten als Zahlenbeispiel den Fall n=5:

\sum\limits_{k = 0}^5 {x^k \cdot x^{5-k} }

= x^0 \cdot x^5 \to x^5

+x^1 \cdot x^4 \to x^5

+x^2 \cdot x^3 \to x^5

+x^3 \cdot x^2 \to x^5

+x^4 \cdot x^1 \to x^5

+x^5 \cdot x^0 \to x^5

= \sum\limits_{k = 0}^5 {x^5 }

Es gilt also:

\sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{k = 0}^n {x^k \cdot x^{n-k} } } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{k = 0}^n {x^n } }

Das xn hängt nicht mehr von k ab und kann vor die Summe gezogen werden:

\sum\limits_{n = 0}^\infty {\sum\limits_{k = 0}^n {x^n } } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x^n \sum\limits_{k = 0}^n 1 } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {x^n \left( {n+1} \right)}

q.e.d.

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