2.1 – Nachtfalter fliegt logarithmische Spirale

 

Ein Nachtfalter orientiert sich bei seinen nächtlichen Flügen am Stand des Mondes. Er fliegt geradeaus, wenn das Mondlicht unter einem konstanten Winkel α in sein Auge fällt. Nun nähert sich der Falter einer Laterne, deren Schein das Mondlicht überlagert. Der Falter fliegt weiterhin so, dass er das Licht unter dem gleichen Gesichtswinkel α erblickt. Dabei ist seine Geschwindigkeit betragsmäßig konstant. Auf welcher Flugbahn nähert sich der Falter der Laterne und wann stößt er gegen sie?

Gegeben: v0, a, b, r0, r = b : Laternenradius

Lösung

Bildlich dargestellt:

Veranschaulichung

Darstellung mit neuem Bezugssystem:

Neues Bezugssystem

Gesucht ist die Flugbahn, also im neuen Bezugssystem r(t) und φ(t)
sowie die Zeit t, nach der der Falter gegen die Laterne knallt.

Die Geschwindigkeit und der Winkel des Schmetterlings sind gegeben.
Seine Geschwindigkeit lässt sich in 2 Komponenten aufteilen. Eine in Richtung Lampe und eine senkrecht dazu:

Geschwindigkeitsvektor

\vec v_{\left( t \right)}  = -v_0 \cos \alpha \:\vec e_r +v_0 \sin \alpha \:\vec e_\varphi

Für den Richtungsvektor gilt:

\vec r_{\left( t \right)}  = r_{\left( t \right)} \:\vec e_r

Zudem wissen wir, dass die Ableitung eines Richtungsvektors seinen Geschwindigkeitsvektor ergibt:
\dot {\vec r}_{\left( t \right)}  = \vec v_{\left( t \right)}  = -v_0 \cos \alpha \:\vec e_{r\left( t \right)} +v_0 \sin \alpha \:\vec e_{\varphi \left( t \right)}

\dot {\vec r}_{\left( t \right)}  = \dot r_{\left( t \right)} \:\vec e_{r\left( t \right)} +r_{\left( t \right)} \:\dot {\vec e}_{r\left( t \right)}  = \dot r_{\left( t \right)} \:\vec e_{r\left( t \right)} +r_{\left( t \right)} \:\dot \varphi \:\vec e_{\varphi \left( t \right)}

Hinweis:
Die Transformation: \dot {\vec e}_{r\left( t \right)}  = \:\dot \varphi \:\vec e_{\varphi \left( t \right)} ist im Artikel Basisvektortransformation beschrieben.

Wenn wir die beiden Ergebnisse vergleichen, kommen wir auf:

\underbrace {\dot r_{\left( t \right)} }_{1)}\:\vec e_{r\left( t \right)} +\underbrace {r_{\left( t \right)} \:\dot \varphi \:}_{2)}\vec e_{\varphi \left( t \right)}  = \underbrace {-v_0 \cos \alpha }_{1)}\:\vec e_{r\left( t \right)} +\underbrace {v_0 \sin \alpha }_{2)}\:\vec e_{\varphi \left( t \right)}

\left. 1 \right)\quad \dot r_{\left( t \right)}  = -v_0 \cos \alpha \quad  \Rightarrow \quad r_{\left( t \right)}  = -v_0 \:t\cos \alpha +r_0

\left. 2 \right)\quad r_{\left( t \right)} \:\dot \varphi  = v_0 \sin \alpha \quad  \Rightarrow \quad \dot \varphi  = \frac{{v_0 \sin \alpha }} {{r_{\left( t \right)} }}

Durch Umformen der ersten Gleichung können wir nun schon die Frage beantworten, wann der Nachtfalter mit der Laterne kollidiert:

r_{\left( t \right)}  = -v_0 \:t\cos \alpha +r_0

\frac{{r_{\left( t \right)} -r_0 }} {{-v_0 \:\cos \alpha }} = \:t

r(t) muss jetzt genau so groß sein, wie der Laternenradius, da der Nachtfalter genau dann gegen die Laterne stößt, wenn der Vektor r(t) vom Falter zum Laternenmittelpunkt nur noch die Länge b hat:

t = \frac{{b-r_0 }} {{-v_0 \:\cos \alpha }} = \frac{{r_0 -b}} {{v_0 \:\cos \alpha }}

Nun zur Berechnung des Winkels φ, der zusätzlich zu r(t) zur Beschreibung der Bahnkurve benötigt wird. Für den Winkel φ in Abhängigkeit von der Zeit gilt:

\varphi _{\left( t \right)}  = \int\limits_0^t {\frac{{v_0 \sin \alpha }} {{r_{\left( t \right)} }}\:} dt = \int\limits_0^t {\frac{{v_0 \sin \alpha }} {{r_0 -v_0 tcos\alpha }}\:} dt = \ldots

Als nächstes lösen wir dieses Integral durch Substitution:

g = r_0 -v_0 tcos\alpha

g^{\prime} = -v_0 cos\alpha

\frac{{dg}} {{dt}} = g^{\prime}\quad  \Leftrightarrow \quad dt = \frac{{dg}} {{g^{\prime}}} = \frac{{dg}} {{-v_0 cos\alpha }}

\Rightarrow \ldots =  \int\limits_{}^{} {\frac{{v_0 \sin \alpha }} {g}\frac{{dg}} {{-v_0 cos\alpha }}}

= -\frac{{\sin \alpha }} {{\cos \alpha }} \cdot \int {\frac{1} {g}} \:dg

= -\tan \alpha  \cdot \left. {\ln \left( g \right)} \right|

= -\tan \alpha  \cdot \left. {\ln \left( {r_0 -v_0 tcos\alpha } \right)} \right|_0^t

= -\tan \alpha  \cdot \left( {\ln \left( {r_0 -v_0 tcos\alpha } \right)-\ln \left( {r_0 } \right)} \right)

= -\tan \alpha  \cdot \ln \left( {\frac{{r_0 -v_0 tcos\alpha }} {{r_0 }}} \right)

Die Gleichung für den Winkel lautet also:

\varphi _{\left( t \right)}  = -\tan \alpha  \cdot \ln \left( {\frac{{r_0 -v_0 tcos\alpha }} {{r_0 }}} \right)

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