21 – Reihe als Exponentialfunktion

 

Bestimmen Sie einen einfachen Ausdruck für den Grenzwert der Reihe

\sum\limits_n {\frac{{4^{n+3} \cdot \left( {-1} \right)^n }} {{\left( {n+1} \right)!}}}

Lösung

Für diese Aufgabe ist es zunächst hilfreich, zu wissen, wie die Exponentialfunktion definiert ist:

\exp (x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{x^n }} {{n!}}}

Eine andere Möglichkeit, die Exponentialfunktion zu definieren, ist als Grenzwert einer Folge:

exp(x) = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {1+\frac{x} {n}} \right)^n

Wir werden hier den ersten Ansatz verwenden.

Zur Aufgabenstellung:

Die Summe wird zunächst komplett mit ihrem Anfangs- und Endwert aufgeschrieben, da dieser später noch eine Rolle spielen wird. Da wir (wegen der Definition der Exponentialfunktion) für die Fakultät und den Exponenten die gleiche Zahl benötigen, muss der Bruch in der Summe umgeformt werden. Die Fakultät zu ändern ist schwierig, daher werden wir den Zähler bearbeiten. Wir ziehen zwei Vieren aus den 4n+3 und erhalten so den Faktor 16, den wir vorziehen. Zu den (-1)n fügen wir eine weitere -1 hinzu. Dadurch ändert sich das Vorzeichen und wir müssen ein-bei der 16 ergänzen.

\sum\limits_n {\frac{{4^{n+3} \cdot\left( {-1} \right)^n }} {{\left( {n+1} \right)!}}} = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{16 \cdot 4^{n+1} \cdot\left( {-1} \right)^n }} {{\left( {n+1} \right)!}}} = 16 \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{4^{n+1} \left( {-1} \right)^n }} {{\left( {n+1} \right)!}}} = -16 \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{4^{n+1} \left( {-1} \right)^{n+1} }} {{\left( {n+1} \right)!}}}

Nun werden die beiden Basen mit gleichem Exponenten zusammengezogen. Anschließend wird der Anfangswert für die Summe von 0 auf 1 erhöht. Dadurch geht ein Summand verloren. Dies gleichen wir aus, indem wir in der Summe alle n+1 durch n ersetzen.

-16 \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{4^{n+1} \left( {-1} \right)^{n+1} }} {{\left( {n+1} \right)!}}} = -16 \cdot \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {-4} \right)^{n+1} }} {{\left( {n+1} \right)!}}} = -16 \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( {-4} \right)^n }} {{\left( n \right)!}}}

Jetzt wird der Anfangswert wieder auf 0 geändert. Da es jetzt wieder einen Summanden mehr gibt, wir aber die n’s in der Summe nicht ändern wollen, müssen wir den Summanden von der Summe abziehen (es ist der Summand mit n=0, der in der Summe von 1 bis unendlich fehlt). Die Summe erfüllt nun die Definition einer Exponentialfunktion und kann durch diese ersetzt werden. Die vereinfachte Gleichung lautet also:

-16 \cdot \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{\left( {-4} \right)^n }} {{\left( n \right)!}}} = -16 \cdot \left( {\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {-4} \right)^n }} {{n!}}} -\frac{{\left( {-4} \right)^0 }} {{0!}}} \right) = -16 \cdot \left( {\exp \left( {-4} \right)-1} \right)