02.2 – Differentialgleichung für den radioaktiven Zerfall

 

Beim radioaktiven Kernzerfall ist die Änderung (Abnahme) dN der Kerne im Zeitintervall dt gegeben durch die Beziehung dN = -λ · N · dt (λ ist die Zerfallskonstante). Leiten Sie aus der oben angegebenen Beziehung das Gesetz für den radioaktiven Zerfall her. (Anfangebedingung: Zahl der Kerne ist gleich N0 zur Zeit t = 0)

Lösung

Die ursprüngliche Gleichung lautet:

dN = -\lambda \cdot N \cdot dt

durch Integration erhalten wir:

\int\limits_N^{} {dN} = \int\limits_t^{} {-\lambda \cdot N \cdot dt}

Den konstanten Faktor -λ ziehen wir vor das Integral:

\int\limits_N^{} {dN} = -\lambda \int\limits_t^{} { \cdot N \cdot dt}

Das rechte Integral soll nach t aufgeleitet werden. Daher ist es sinnvoller, das N in das linke Integral zu überführen. Wir dividieren durch N:

\int\limits_N^{} {\frac{{dN}} {N}} = -\lambda \int\limits_t^{} {dt}

Dies können wir auch schreiben als:

\int\limits_N^{} {\frac{1} {N}dN} = -\lambda \int\limits_t^{} {1 \cdot dt}

Es ergibt sich auf der linken Seite ein bekanntes Integral, das durch den natürlichen Logarithmus gelöst wird. Auf der rechten Seite bleibt von dem Integral nur das t:

\ln N = -\lambda \cdot t+C

Um eine Lösung für N zu erhalten, exponieren wir beide Seiten zur Basis e:

e^{\ln N} = e^{-\lambda \cdot t+C} \Leftrightarrow N = e^{-\lambda \cdot t+C}

Nach Potenzgesetzen vereinfachen wir die rechte Seite zu:

N = e^{-\lambda \cdot t} \cdot e^C

eC ist auch wieder konstant, daher vereinfachen wir diesen Term zur neuen Konstante D:

N = D \cdot e^{-\lambda \cdot t}

Im letzten Schritt bestimmen wir die Konstante D mit Hilfe der Anfangsbedingungen:

N\left( {t = 0} \right) = D \cdot e^{-\lambda \cdot 0} = D \cdot 1 = D

Die Gleichung für die Anzahl der Atome beim radioaktiven Kernzerfall lautet also:

N\left( t \right) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}