22 – Additionstheorem der hyperbolischen Funktionen

Die durch

$\cosh \left( x \right): = \frac{{\exp \left( x \right)+\exp \left( {-x} \right)}} {2}$

$\sinh \left( x \right): = \frac{{\exp \left( x \right)-\exp \left( {-x} \right)}} {2}$

definierten Funktionen cosh, sinh: $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ heißen Cosinus hyberbolicus bzw. Sinus hyperbolicus. Man beweise die Additionstheoreme:

$\cosh \left( {x+y} \right) = \cosh \left( x \right)\cosh \left( y \right)+\sinh \left( x \right)\sinh \left( y \right),\forall x,y \in \mathbb{R}$
$\sinh \left( {x+y} \right) = \cosh \left( x \right)\sinh \left( y \right)+\sinh \left( x \right)\cosh \left( y \right),\forall x,y \in \mathbb{R}$

Lösung

Zunächst die Funktionen als Schaubilder:

Nun zum Beweis:

Um das Additionstheorem zu beweisen, setzen wir die Definitionen in den rechten Teil der Gleichung ein:

$\cosh \left( {x+y} \right) = \frac{{\exp \left( x \right)+\exp \left( {-x} \right)}} {2}\frac{{\exp \left( y \right)+\exp \left( {-y} \right)}} {2}+\frac{{\exp \left( x \right)-\exp \left( {-x} \right)}} {2}\frac{{\exp \left( y \right)-\exp \left( {-y} \right)}} {2}$

Wir fassen zusammen und vereinfachen:

$= \frac{{\left[ {\exp \left( x \right)+\exp \left( {-x} \right)} \right] \cdot \left[ {\exp \left( y \right)+\exp \left( {-y} \right)} \right]}} {4}+\frac{{\left[ {\exp \left( x \right)-\exp \left( {-x} \right)} \right] \cdot \left[ {\exp \left( y \right)-\exp \left( {-y} \right)} \right]}} {4}$

$= \frac{{\exp \left( x \right)\exp \left( y \right)+\exp \left( x \right)\exp \left( {-y} \right)+\exp \left( {-x} \right)\exp \left( y \right)+\exp \left( {-x} \right)\exp \left( {-y} \right)}} {4}$

$+\frac{{\exp \left( x \right)\exp \left( y \right)-\exp \left( x \right)\exp \left( {-y} \right)-\exp \left( {-x} \right)\exp \left( y \right)+\exp \left( {-x} \right)\exp \left( {-y} \right)}} {4}$