22 – Additionstheorem der hyperbolischen Funktionen

 

Die durch

\cosh \left( x \right): = \frac{{\exp \left( x \right)+\exp \left( {-x} \right)}} {2}

\sinh \left( x \right): = \frac{{\exp \left( x \right)-\exp \left( {-x} \right)}} {2}

definierten Funktionen cosh, sinh: \mathbb{R} \to \mathbb{R} heißen Cosinus hyberbolicus bzw. Sinus hyperbolicus. Man beweise die Additionstheoreme:

  1. \cosh \left( {x+y} \right) = \cosh \left( x \right)\cosh \left( y \right)+\sinh \left( x \right)\sinh \left( y \right),\forall x,y \in \mathbb{R}
  2. \sinh \left( {x+y} \right) = \cosh \left( x \right)\sinh \left( y \right)+\sinh \left( x \right)\cosh \left( y \right),\forall x,y \in \mathbb{R}

Lösung

Zunächst die Funktionen als Schaubilder:

Nun zum Beweis:

Um das Additionstheorem zu beweisen, setzen wir die Definitionen in den rechten Teil der Gleichung ein:

\cosh \left( {x+y} \right) = \frac{{\exp \left( x \right)+\exp \left( {-x} \right)}} {2}\frac{{\exp \left( y \right)+\exp \left( {-y} \right)}} {2}+\frac{{\exp \left( x \right)-\exp \left( {-x} \right)}} {2}\frac{{\exp \left( y \right)-\exp \left( {-y} \right)}} {2}

Wir fassen zusammen und vereinfachen:

= \frac{{\left[ {\exp \left( x \right)+\exp \left( {-x} \right)} \right] \cdot \left[ {\exp \left( y \right)+\exp \left( {-y} \right)} \right]}} {4}+\frac{{\left[ {\exp \left( x \right)-\exp \left( {-x} \right)} \right] \cdot \left[ {\exp \left( y \right)-\exp \left( {-y} \right)} \right]}} {4}

= \frac{{\exp \left( x \right)\exp \left( y \right)+\exp \left( x \right)\exp \left( {-y} \right)+\exp \left( {-x} \right)\exp \left( y \right)+\exp \left( {-x} \right)\exp \left( {-y} \right)}} {4}

+\frac{{\exp \left( x \right)\exp \left( y \right)-\exp \left( x \right)\exp \left( {-y} \right)-\exp \left( {-x} \right)\exp \left( y \right)+\exp \left( {-x} \right)\exp \left( {-y} \right)}} {4}

= \frac{{\exp \left( {x+y} \right)+\exp \left( {x-y} \right)+\exp \left( {-x+y} \right)+\exp \left( {-x-y} \right)}} {4}

+\frac{{\exp \left( {x+y} \right)-\exp \left( {x-y} \right)-\exp \left( {-x+y} \right)+\exp \left( {-x-y} \right)}} {4}

= \frac{{\exp \left( {x+y} \right)+\exp \left( {-x-y} \right)+\exp \left( {x+y} \right)+\exp \left( {-x-y} \right)}} {4}

= \frac{{2\exp \left( {x+y} \right)+2\exp \left( {-x-y} \right)}} {4}

= 2\frac{{\exp \left( {x+y} \right)+\exp \left( {-(x+y)} \right)}} {4}

= \frac{{\exp \left( {x+y} \right)+\exp \left( {-(x+y)} \right)}} {2} = \cosh \left( {x+y} \right)

Für den Beweis vom Sinus hyperbolicus verfährt man analog.