Gegeben ist eine Differentialgleichung der folgenden Form:
- Versuchen Sie die allgemeinen Lösungen der Differentialgleichung zu finden. (Hinweis: verwenden Sie den Ansatz x(t) = A0 · eλ t)
- Verwenden Sie die Eulersche Relation
und zeigen Sie, dass sowohl cos als auch sin als auch die Summe cos+sin die Differentialgleichung löst.
Lösung
a )
Die Aufgabe schreiben wir zunächst um:
Für x(t) setzen wir:
In der gegebenen Gleichung kommt die zweite Ableitung von x vor. Daher leiten wir auch die eingesetzte Gleichung zwei mal ab:
Eingesetzt ergibt sich:
Der Faktor 
kommt in beiden Summanden vor. Wir dividieren daher und erhalten:
Für die negative Wurzel schreiben wir als komplexe Zahl:
Diesen Wert für λ setzen wir in die ursprüngliche Gleichung ein:
Es sind keine Randbedingungen gegeben, daher kann A0 nicht bestimmt werden. Wir können aber noch das “Plus oder Minus” auflösen, indem wir schreiben:
Dies ist erlaubt, da die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung die Summe der partiellen Lösungen ist.
b )
Mit der eulerschen Relation formen wir die Lösung von Teilaufgabe a) um:
Nun prüfen wir, ob die gegebenen Ansätze die Differentialgleichung 
lösen. Zunächst der Ansatz mit dem Cosinus:
Wie bei Teilaufgabe a) leiten wir zwei Mal ab und setzen ein:
Dies ist eine wahre Aussage, daher löst der Ansatz die Differentialgleichung.
Nun der Ansatz mit dem Sinus:
Auch dies ergibt eine wahre Aussage. Der letzte Ansatz:
Wieder eine wahre Aussage.