23 – Stetigkeit abhängig vom Definitionsbereich

 

Sei f:D \to \mathbb{R} mit D \subseteq \mathbb{R} eine Funktion. Zeigen Sie: Falls D endlich ist oder D \subseteq \mathbb{N}, ist f stetig.

Lösung

Eine Funktion ist stetig im Punkt a, wenn gilt:

\lim \left( {f\left( {a_n } \right)} \right)_n = f\left( a \right),\forall D \supset \left( {a_n } \right)_n \to a (Folgenkriterium)

Fall 1: D ist endlich

Wenn D endlich ist, bedeutet das, dass Der Definitionsbereich keine Gerade ist, sondern nur (endlich viele) einzelne Werte enthält. Ein solcher Definitionsbereich könnte zum Beispiel sein: Die geraden Zahlen von 0 bis 100. Für die Argumentation läuft dies auf das gleiche heraus wie der Fall, dass es sich beim Definitionsbereich um die natürlichen Zahlen handelt:

Fall 2: D \subseteq \mathbb{N}
Wenn der Definitionsbereich den natürlichen Zahlen entspricht, heißt das für eine konvergente Folge, dass ab einem bestimmten Folgeglied alle folgenden Folgeglieder den gleichen Wert haben.
Deshalb haben auch alle Funktionswerte zu diesen Folgegliedern den gleichen Wert (d.h. sie konvergieren). Aufgrund dieser Tatsache ist die Funktion für diesen Wert stetig. Da dass aber für jeden beliebigen Punkt gilt, ist sie auch insgesamt stetig.

Mathematisch:

Sei D \subseteq \mathbb{N} und a ∈ D beliebig. Außerdem sei D \supset \left( {a_n } \right)_n \to a beliebig.
Sei nun \varepsilon = \frac{1}{2}, dann existiert ein n0, für das gilt:

\left| {a_n-a} \right| < \varepsilon\quad,\quad\forall n \geq n_0

Da sich alle a_n ab n_0 bestimmt in dieser \varepsilon-Umgebung befinden, aber gleichzeitig in dieser \varepsilon-Umgebung nur der Wert a liegt, müssen alle a_n ab n_0 gleich a sein.
Anders ausgedrückt: Im Raum der natürlichen Zahlen müssen aber zwei Zahlen, deren Differenz weniger als 1/2 ist, gleich sein.

Deswegen gilt:

a_n = a\quad,\quad\forall n \geq n_0

Wir betrachten nun

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {f\left( {a_n } \right)} \right)_{n \geq n_0 } = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {f\left( {a } \right)} \right)_{n \geq n_0 } = f\left( a \right)

Die Funktion ist also stetig.
q.e.d.