02.4 – Reibung bei gleichförmiger Bewegung

 

Die Masse M bewegt sich auf einer horizontalen Unterlage mit der Geschwindigkeit v\left(t\right). Zwischen der Masse und der Unterlage herrscht eine geschwindigkeitsproportionale Reibung mit der Reibungskraft \left| {{F_R}} \right| = \gamma \cdot \frac{{dx}}{{dt}} wobei \gamma der Reibungskoeffizient ist.

  1. Wie lautet die Differentialgleichung der Bewegung von M?
  2. Lösen Sie die Differentialgleichung und geben Sie v\left(t\right) an
  3. Welche Lösung ergibt sich für v\left(t\right), wenn v = v_0 bei t = 0 ist?

Lösung

a )

Wir setzen alle Kräfte, die auf den Körper wirken, mit der bekannten Gleichung F = m \cdot a gleich. In diesem Fall wirkt lediglich die Reigungskraft auf den Körper, und zwar in negativer Bewegungsrichtung. Somit ergibt sich:

-F_R = m \cdot a

Wir setzen die gegebene Gleichung der Reibungskraft ein und stellen die Beschleunigung durch die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit dar:

-\gamma \cdot \dot x = m \cdot \ddot x

Es ist nach einer Gleichung für die Geschwindigkeit gefragt. Deshalb stellen wir die Ableitungen des Ortes nach der Zeit durch Ableitungen der Geschwindigkeit nach der Zeit dar:

\gamma \cdot v+m \cdot \dot v = 0

b )

Die lineare homogene Differentialgleichung lösen wir mit dem allgemeinen Lösungsansatz:

v = A_0 \cdot e^{-\lambda t}

\dot v = -\lambda A_0 \cdot e^{-\lambda t}

In die Ausgangsgleichung eingesetzt ergibt sich:

\gamma \cdot A_0 \cdot e^{-\lambda t} -m \cdot \lambda A_0 \cdot e^{-\lambda t} = 0

Hier können wir durch A_0 \cdot e^{-\lambda t} teilen, da es in beiden Summanden vorkommt. Wir stellen anschließend nach \lambda um:

\gamma -m \cdot \lambda = 0

\lambda = \frac{\gamma } {m}

Wir haben nun ein \lambda gefunden, das für den konkreten Fall in die allgemeine Lösungsformel eingesetzt werden kann:

v = A_0 \cdot e^{-\frac{\gamma } {m}t}

c )

Für den Fall, dass v=v_0 bei t=0 ergibt sich durch die Rahmenbdeingung:

v\left( t \right) = A_0 \cdot e^{-\frac{\gamma } {m}t}

v_0 = v\left( 0 \right) = A_0 \cdot e^{-\frac{\gamma } {m}\cdot 0} = A_0 \quad \Rightarrow \quad v\left( t \right) = v_0 \cdot e^{-\frac{\gamma } {m}t}

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