24 – Stetigkeit von Funktionen

 

Wir partitionieren das Intervall [0,1] in disjunkte Teilmengen I_i ,i \in \mathbb{N} \cup \left\{ \infty  \right\}. Dabei sei I_i : = \left] {2^{-i-1} ,2^{-i} } \right],i \in \mathbb{N},I_\infty  : = \left\{ 0 \right\}. Wir definieren f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} durch

f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array} 2^{-i}  & \left( {x \in I_i } \right)  \\ 0 & \left( {x = 0} \right)  \\  \end{array} } \right.

Bestimmen Sie alle Punkte, in denen f stetig ist.

Lösung

Zunächst zum allgemeinen Beweis der Stetigkeit:

Eine Funktion ist stetig, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.
Eine Funktion ist in einem Punkt stetig, wenn gilt:

\forall \varepsilon  > 0\exists \delta  > 0:\left| {f\left( x \right)-f\left( a \right)} \right| < \varepsilon \forall x:\left| {x-a} \right| < \delta

Diese etwas kryptisch anmutende Beschreibung soll nun erläutert werden.

Gegeben sei die Stelle a, an der die Stetigkeit bestimmt werden soll, sowie der Funktionswert f(a) zu dieser Stelle.
Nun sei ε ein beliebig kleines Intervall auf der y-Achse: [f(a)-ε, f(a)+ε]
Es muss nun als Bedingung für die Stetigkeit auch ein Intervall auf der x-Achse: [a-δ, a+δ] geben, so dass die Funktionswerte des Intervalls [a-δ, a+δ] alle im Intervall [f(a)-ε, f(a)+ε] liegen.
Dies ist offensichtlich auf der ersten Abbildung der fall und auf der zweiten nicht.

Die andere Definition von Stetigkeit an einem Punkt geht über eine Folge, die sich der Stelle annährt:
Eine Funktion f:D \to \mathbb{R} ist stetig in einem Punkt a ∈ D, wenn für jede Folge (an)n in D, die gegen a konvergiert, gilt: die Folge (f(an))n konvergiert gegen f(a).
Wenn also die Folge gegen einen Punkt konvergiert, müssen auch die zu den Folgegliedern gehörigen Funktionswerte gegen einen Punkt konvergieren.
Dieses Kriterium werden wir in dieser Aufgabe später noch verwenden.

Jetzt zu der Aufgabenstellung.
Das Intervall [0,1] soll in disjunkte Teilmengen I_i ,i \in \mathbb{N} \cup \left\{ \infty  \right\} mit
I_i : = \left] {2^{-i-1} ,2^{-i} } \right],i \in \mathbb{N},I_\infty  : = \left\{ 0 \right\} aufgeteilt werden.
Wenn man Zahlen einsetzt, ergeben sich die folgenden Teilintervalle:

I_0  = \left] {2^{-0-1} ,2^{-0} } \right] = \left] {\frac{1} {2},1} \right]

I_1  = \left] {2^{-1-1} ,2^{-1} } \right] = \left] {\frac{1} {4},\frac{1} {2}} \right]

I_2  = \left] {2^{-2-1} ,2^{-2} } \right] = \left] {\frac{1} {8},\frac{1} {4}} \right]

I_3  = \left] {2^{-3-1} ,2^{-3} } \right] = \left] {\frac{1} {{16}},\frac{1} {8}} \right]

mit den jeweils für das Teilintervall konstanten Funktionswerten

f\left( {I_0 } \right) = 2^{-0}  = 1

f\left( {I_1 } \right) = 2^{-1}  = \frac{1} {2}

f\left( {I_2 } \right) = 2^{-2}  = \frac{1} {4}

f\left( {I_3 } \right) = 2^{-3}  = \frac{1} {8}

Als Graph sieht das foldendermaßen aus:

Die Funktion ist offensichtlich nicht stetig an den Stellen x = \left\{ {\frac{1} {2},\frac{1} {4},\frac{1} {8},...} \right\}

Behauptung: Die Funktion ist stetig an der Stelle x = 0.

Beweis:

Wie man auf der folgenden Abbildung sieht, ist f(x) immer kleiner als 2x.

f\left( x \right) < 2x

Wir benutzen nun das Kriterium, dass die Funktionswerte einer Folge, die als Grenzwert einen stetigen Punkt der Funktion hat, auch einen Grenzwert haben müssen.

Sei (an)n beliebig mit \lim \limits_{n \to \infty } \left( {a_n } \right)_n  = 0.

Zu zeigen:

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {f\left( {a_n } \right)} \right)_n  = f\left( 0 \right) = 0

Sei ε > 0 beliebig gewählt. gesucht ist: n0
setze: \delta : = \frac{\varepsilon } {2} > 0

Es gilt:

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {a_n } \right)_n  = 0 \Rightarrow \exists n_0 :\left| {a_n -0} \right| = a_n  < \delta \forall n \geq n_0

Also:

\left| {f\left( {a_n } \right)-f\left( 0 \right)} \right| = f\left( {a_n } \right) \leq 2a_n  < 2\delta  = \varepsilon \forall n \geq n_0

Es existiert also das gesuchte n0 und es gilt:

\lim \limits_{n \to \infty } \left( {f\left( {a_n } \right)} \right)_n  = f\left( 0 \right) = 0

q.e.d.