25 – Stetigkeit von Funktionen

 

Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} an, für die gilt, dass f \cdot f stetig ist, aber f in mindestens einem Punkt unstetig ist.
(Bemerkung: Man kann hier sogar ein f wählen, das in keinem Punkt stetig ist!)

Lösung

Zunächst zwei Funktionen, von denen man annehmen könnte, dass sie in einem Punkt unstetig sind:

Die Funktionen sind jedoch im Punkt 0 nicht definiert. Wären sie dort definiert, wären sie dort auch unstetig.

Die Lösung für die Aufgabe ist also eine Funktion, für die “manuell” Werte für Bereiche definiert sind.

Beispiel:

f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} - 1, & x < 0  \\ 1, & x \geq 0  \\ \end{array} } \right.

Diese Funktion ist bei 0 unstetig (für Erklärung und Beweis von Stetigkeit siehe Aufgabe 24).

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