26 – Exponentialfunktion und Potenzgesetze

 

Seien a, b > 0 und x, y ∈ R. Aus der Vorlesung ist die allgemeine Potenzfunktion bekannt:

x \mapsto a^x : = \exp \left( {x \cdot \ln \left( a \right)} \right)

  1. Die Schreibweise a-1 für die Potenz zur Basis a an der Stelle -1 kollidiert mit der Bezeichnung a-1 für das multiplikative Inverse von a. Zeigen Sie, dass a-1 nach beiden Interpretationen die selbe Zahl ergibt.
  2. Zeigen Sie: ln(ax) = x · ln(a).
  3. Beweisen Sie die allgemeinen Potenzgesetze:
    1. ax · ay = ax+y
    2. (ax)y = ax · y
    3. ax · bx = (a · b)x
    4. (1/a)x = a-x

Lösung

a )

Potenz zur Basis a an der Stelle -1:

a^{-1} = \exp \left( {-1 \cdot \ln \left( a \right)} \right)

Multiplikatives Inverses von a:

a^{-1} = \frac{1} {a}

Gleichsetzen:

\exp \left( {-1 \cdot \ln \left( a \right)} \right) = \frac{1} {a}

\exp \left( {-\ln \left( a \right)} \right) = \frac{1} {a}

Wir multiplizieren mit a, um auf der rechten Seite 1 zu erhalten:

\exp \left( {-\ln \left( a \right)} \right) = \left. {\frac{1} {a}} \right| \cdot a

a \cdot \exp \left( {-\ln \left( a \right)} \right) = 1

Nach dem Potenzgesetz gilt:

\exp \left( {\ln \left( a \right)} \right) \cdot \exp \left( {-\ln \left( a \right)} \right) = 1

\exp \left( {-\ln \left( a \right)+\ln \left( a \right)} \right) = 1

\exp \left( 0 \right) = 1

1 = 1

q.e.d.

b )

Es wird die Definition der Exponentialfunktion eingesetzt. ln und exp heben sich auf:

\ln \left( {a^x } \right) = \ln \left( {\exp \left( {x\ln a} \right)} \right) = x\ln a

q.e.d.

c )

i)

Wir setzen wieder die Definition der Exponentialfunktion ein:

a^x \cdot a^y = \exp \left( {x\ln a} \right) \cdot \exp \left( {y\ln a} \right)

Durch das Potenzgesetz erhalten wir:

\exp \left( {x\ln a} \right) \cdot \exp \left( {y\ln a} \right) = \exp \left( {x\ln a+y\ln a} \right) = \exp \left( {\left( {x+y} \right)\ln a} \right)

Dies ist per Definition:

\exp \left( {\left( {x+y} \right)\ln a} \right) = a^{x+y}

q.e.d.

ii)

Auch hier heben sich wieder exp und ln auf:

\left( {a^x } \right)^y = \exp \left( {y\ln \left( {\exp \left( {x\ln a} \right)} \right)} \right) = \exp \left( {y\left( {x\ln a} \right)} \right) = \exp \left( {\left( {y \cdot x} \right)\ln a} \right) = a^{x \cdot y}

q.e.d.

iii)

a^x \cdot b^x = \exp \left( {x\ln a} \right) \cdot \exp \left( {x\ln b} \right)

Potenzgesetz:

\exp \left( {x\ln a} \right) \cdot \exp \left( {x\ln b} \right) = \exp \left( {x\ln a+x\ln b} \right) = \exp \left( {x\left( {\ln a+\ln b} \right)} \right)

Mit den Rechenregeln für den Logarithmus ergibt sich:

\exp \left( {x\left( {\ln a+\ln b} \right)} \right) = \exp \left( {x\ln \left( {a \cdot b} \right)} \right) = \left( {a \cdot b} \right)^x

q.e.d.

iv)

\left( {\frac{1} {a}} \right)^x = \exp \left( {x\ln \frac{1} {a}} \right)

Rechenregel für Logarithmus:

\exp \left( {x\ln \frac{1} {a}} \right) = \exp \left( {x\left( {\ln 1-\ln a} \right)} \right) = \exp \left( {x\left( {0-\ln a} \right)} \right) = \exp \left( {-x\ln a} \right)

= a^{-x}

q.e.d.