27 – Zwischenwertsatz

 
  1. Gegeben sei die Polynomfunktion f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f\left( x \right) = x^3 -x^2 -1. Bestimmen Sie über den Zwischenwertsatz ein Intervall der Länge 1/4, in dem eine Nullstelle von f liegt.
  2. Seien f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} und g:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R} stetige Funktionen mit f\left( 0 \right) < g\left( 0 \right) und f\left( 1 \right) > g\left( 1 \right). Zeigen Sie, dass es mindestens ein x_0  \in \left[ {0,1} \right] mit f\left( {x_0 } \right) = g\left( {x_0 } \right) gibt.

Lösung

Zunächst zum Zwischenwertsatz:

Die Definition:

Es sei f: \left[a,b \right] \to \mathbb{R} eine stetige reelle Funktion, die auf einem Intervall definiert ist.
Dann existiert zu jedem u \in \left[ f\left(a \right), f \left(b \right) \right] (falls f\left(a \right) \leq f\left(b \right)) bzw. u \in \left[ f \left( b \right), f \left(a \right) \right] (falls f\left(b \right)\leq f\left(a \right)) ein c \in \left[ a,b \right] mit f\left(c\right)=u.

Erklärung:

Auf dem Intervall zwischen a und b erreicht die Funktion f(x) jeden Wert zwischen dem Funktionswert von a und dem Funktionswert von b. Insbesondere erreicht sie den beliebigen Wert g.

Dies wird bewiesen, indem man das Intervall [a, b] in zwei gleichgroße Teile unterteilt und überprüft, in welchem der zwei neuen Teilintervalle der Schnittpunkt von f(x) mit g sein muss. Das entsprechende Teilintervall teilt man erneut in zwei Hälften und so weiter. Das Intervall, auf dem der Schnittpunkt liegen muss, wird so immer kleiner. wir betrachten die Teilungsgrenzen der Intervalle. Im Beispiel oben sind dies:

T_1  = \frac{{a+b}} {2}

T_2  = \frac{{a+b}} {4}

T_3  = \frac{{3\left( {a+b} \right)}} {8}

T_4  = \frac{{5\left( {a+b} \right)}} {{16}}

und so weiter.

Da jede neue Grenze nur ein halbes Intervall von der letzten entfernt ist, werden die Abstände zwischen den Grenzen immer kleiner. Sie bilden eine Cauchy-Folge.
Der Grenzwert dieser Folge ist der Schnittpunkt von f(x) und g. (Dass es einen Grenzwert geben muss, ergibt sich daraus, dass eine Cauchy-Folge immer konvergent ist.)

Nun zur Aufgabenstellung:

a )

Es gilt:

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}

f\left( x \right) = x^3 -x^2 -1

Wir wählen nun zwei Startpunkte auf der x-Achse, zwischen denen die Nullstelle liegen muss.
Man sieht leicht: f(1) = -1 und f(2) = 3
Die Startwerte sind also -1 und 3

Es gilt nun:

f:\left[ {1,2} \right] \to stetig \to \mathbb{R} \Rightarrow \exists c|1 \leq c \leq 2:f\left( c \right) = 0

“Übersetzung”:
Daraus, dass f das Intervall von 1 bis 2 stetig auf R abbildet, folgt, dass es ein c mit 1 = c = 2 gibt, so dass f(c) = 0 ist.

Wir suchen nun ein Intervall mit der Länge 1/4.

Hierfür berechnen wir den Funktionswert der Stelle zwischen 1 und 2, nämlich 3/2:

f\left( {\frac{{1+2}} {2}} \right) = f\left( {\frac{3} {2}} \right) = \left( {\frac{3} {2}} \right)^3 -\left( {\frac{3} {2}} \right)^2 -1 = \frac{1} {8}

Der Wert ist positiv, daher ist die Grenze rechts von der Nullstelle und das neue Intervall ist \left[ {1,\frac{3}{2}} \right]. Dieses Intervall hat immernoch die Länge 0,5, daher machen wir einen weiteren Schritt.

Wir berechnen den Funktionswert der Stelle, die das neue Integral halbiert:

f\left( {\frac{{1+\frac{3} {2}}} {2}} \right) = f\left( {\frac{5} {4}} \right) = \left( {\frac{5} {4}} \right)^3 -\left( {\frac{5} {4}} \right)^2 -1 = -\frac{{39}} {{64}}

Der Wert ist negativ, die Grenze liegt also links von der Nullstelle und das neue Intervall ist \left[ {\frac{5}{4},\frac{3}{2}} \right]. Das Intervall hat die gewünschte Länge 0,25.

hier noch zur Veranschaulichung der Graph der Funktion:

b )

Um zu beweisen, dass es einen Schnittpunkt gibt, betrachten wir die Differenzfunktion h(x) = f(x)-g(x):

Da f(0) < g(0) aber f(1) > g(1) muss h(x) eine Nullstelle haben. Dies beweisen wir mit dem Zwischenwertsatz:

Da h(0) < 0 und h(1) > 0 muss es ein c zwischen 0 und 1 geben mit h(c) = f(c)-g(c) = 0.

q.e.d.