28 – Gleichungen mit Logarithmus

 

Berechnen Sie alle Lösungen x ? R:

  1. \ln \left( {x^2 +1} \right)-2\ln \left( x \right) = 2
  2. \ln \left( {x+\sqrt {x^2 -1} } \right)+\ln \left( {x-\sqrt {x^2 -1} } \right) = 0
  3. 2^{-x}  = 5 \cdot 3^{x-3}

Lösung

a )

\ln \left( {x^2 +1} \right)-2\ln \left( x \right) = 2

Wir ziehen als erstes die 2 in den zweiten Logarithmus:

\ln \left( {x^2 +1} \right)-\ln \left( {x^2 } \right) = 2

\ln \left( {\frac{{x^2 +1}} {{x^2 }}} \right) = 2

Nun exponieren wir zur Basis e:

\frac{{x^2 +1}} {{x^2 }} = e^2

x^2 +1 = e^2  \cdot x^2

x^2 -e^2  \cdot x^2 +1 = 0

x^2 \left( {e^2 -1} \right) = 1

x^2  = \frac{1} {{e^2-1}}

Die Lösung ist:

x = \sqrt {\frac{1} {{e^2-1}}}

b )

\ln \left( {x+\sqrt {x^2 -1} } \right)+\ln \left( {x-\sqrt {x^2 -1} } \right) = 0

Wir formen um zu:

\ln \left( {\left( {x+\sqrt {x^2 -1} } \right)\left( {x-\sqrt {x^2 -1} } \right)} \right) = 0

und mit der dritten binomischen Formel entsteht:

\ln \left( {x^2 -\left( {x^2 -1} \right)} \right) = 0

es ergibt sich

\ln \left( 1 \right) = 0 \to w.A.

Dies würde implizieren, dass jedes beliebige x die Gleichung löst. Dies trifft jedoch nicht zu. Wir betrachten die Anfangsgleichung und sehen, dass gelten muss:

x+\sqrt {x^2 -1}  > 0

und

x-\sqrt {x^2 -1}  > 0

denn der Logarithmus ist für negative Werte nicht definiert. Hier ist zunächst wichtig, dass der Term in den Wurzeln positiv sein muss. Wir erhalten eine neue Bedingung:

x^2 -1 \geq 0 \Rightarrow x^2  \geq 1 \Rightarrow x \geq \sqrt 1  \Rightarrow x \geq 1

Nun betrachten wir

x-\sqrt {x^2 -1}  > 0

Hieraus folgt:

x > \sqrt {x^2 -1}

x^2  > x^2 -1

0 > -1 \to w.A.

Die Gleichung ist also immer erfüllt.
Daher löst jedes x \geq 1 die Gleichung.

c )

Die Ursprungsgleichung

2^{-x}  = 5 \cdot 3^{x-3}

stellen wir zunächst in Exponentenschreibweise dar:

\exp \left( {-x\ln 2} \right) = 5 \cdot \exp \left( {\left( {x-3} \right)\ln 3} \right)

Wir nehmen den Logarithmus und erhalten:

- x\ln 2 = \ln \left( {5 \cdot \exp \left( {\left( {x-3} \right)\ln 3} \right)} \right)

- x\ln 2 = \left( {x-3} \right)\ln 3+\ln 5

und durch weiteres Umstellen und Vereinfachen:

0 = x\ln 2+x\ln 3-3\ln 3+\ln 5

0 = x\left( {\ln \left( {2 \cdot 3} \right)} \right)-\ln 3^3 +\ln 5

- x\left( {\ln \left( 6 \right)} \right) = -\ln 3^3 +\ln 5

- x\left( {\ln \left( 6 \right)} \right) = \ln \left( {\frac{5} {{27}}} \right)

x = -\frac{{\ln \left( {\frac{5} {{27}}} \right)}} {{\ln \left( 6 \right)}}

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2 Kommentare zu “28 – Gleichungen mit Logarithmus”

Die Lösung zu a) ist leider falsch. Die korrekte Lösung lautet: x=sqrt(1/(e^2-1))

Danke für den Hinweis, wurde korrigiert.

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