28 – Gleichungen mit Logarithmus

Berechnen Sie alle Lösungen x ? R:

$\ln \left( {x^2 +1} \right)-2\ln \left( x \right) = 2$
$\ln \left( {x+\sqrt {x^2 -1} } \right)+\ln \left( {x-\sqrt {x^2 -1} } \right) = 0$
$2^{-x} = 5 \cdot 3^{x-3}$

Lösung

a )

$\ln \left( {x^2 +1} \right)-2\ln \left( x \right) = 2$

Wir ziehen als erstes die 2 in den zweiten Logarithmus:

$\ln \left( {x^2 +1} \right)-\ln \left( {x^2 } \right) = 2$

$\ln \left( {\frac{{x^2 +1}} {{x^2 }}} \right) = 2$

Nun exponieren wir zur Basis e:

$\frac{{x^2 +1}} {{x^2 }} = e^2$

$x^2 +1 = e^2 \cdot x^2$

$x^2 -e^2 \cdot x^2 +1 = 0$

$x^2 \left( {e^2 -1} \right) = 1$

$x^2 = \frac{1} {{e^2-1}}$

Die Lösung ist:

$x = \sqrt {\frac{1} {{e^2-1}}}$

b )

$\ln \left( {x+\sqrt {x^2 -1} } \right)+\ln \left( {x-\sqrt {x^2 -1} } \right) = 0$

Wir formen um zu:

$\ln \left( {\left( {x+\sqrt {x^2 -1} } \right)\left( {x-\sqrt {x^2 -1} } \right)} \right) = 0$

und mit der dritten binomischen Formel entsteht:

$\ln \left( {x^2 -\left( {x^2 -1} \right)} \right) = 0$

es ergibt sich

$\ln \left( 1 \right) = 0 \to w.A.$

Dies würde implizieren, dass jedes beliebige x die Gleichung löst. Dies trifft jedoch nicht zu. Wir betrachten die Anfangsgleichung und sehen, dass gelten muss:

$x+\sqrt {x^2 -1} > 0$

und

$x-\sqrt {x^2 -1} > 0$

denn der Logarithmus ist für negative Werte nicht definiert. Hier ist zunächst wichtig, dass der Term in den Wurzeln positiv sein muss. Wir erhalten eine neue Bedingung:

$x^2 -1 \geq 0 \Rightarrow x^2 \geq 1 \Rightarrow x \geq \sqrt 1 \Rightarrow x \geq 1$

Nun betrachten wir

$x-\sqrt {x^2 -1} > 0$

Hieraus folgt:

$x > \sqrt {x^2 -1}$

$x^2 > x^2 -1$

$0 > -1 \to w.A.$

Die Gleichung ist also immer erfüllt.
Daher löst jedes $x \geq 1$ die Gleichung.

c )

Die Ursprungsgleichung

$2^{-x} = 5 \cdot 3^{x-3}$

stellen wir zunächst in Exponentenschreibweise dar:

$\exp \left( {-x\ln 2} \right) = 5 \cdot \exp \left( {\left( {x-3} \right)\ln 3} \right)$

Wir nehmen den Logarithmus und erhalten:

$- x\ln 2 = \ln \left( {5 \cdot \exp \left( {\left( {x-3} \right)\ln 3} \right)} \right)$

$- x\ln 2 = \left( {x-3} \right)\ln 3+\ln 5$

und durch weiteres Umstellen und Vereinfachen:

$0 = x\ln 2+x\ln 3-3\ln 3+\ln 5$

$0 = x\left( {\ln \left( {2 \cdot 3} \right)} \right)-\ln 3^3 +\ln 5$

$- x\left( {\ln \left( 6 \right)} \right) = -\ln 3^3 +\ln 5$

$- x\left( {\ln \left( 6 \right)} \right) = \ln \left( {\frac{5} {{27}}} \right)$

$x = -\frac{{\ln \left( {\frac{5} {{27}}} \right)}} {{\ln \left( 6 \right)}}$

Ähnliche Artikel

2 Kommentare zu “28 – Gleichungen mit Logarithmus”

Mike

28. 06. 11 at 3:28 pm

Die Lösung zu a) ist leider falsch. Die korrekte Lösung lautet: x=sqrt(1/(e^2-1))

admin

02. 07. 11 at 11:24 am

Danke für den Hinweis, wurde korrigiert.

Kommentar verfassen